.00 №19 из ЕГЭ 2021

а) Разложим 1105 на простые множители: Значит, возможны три пары чисел

Заметим, что первая пара подходит под условие:

б) В задаче нас просят проверить некоторые утверждения о произведении трёхзначного числа и его суммы цифр. Значит, нужно понять, какими свойствами обладает данное произведение и сами множители.

Так как — это сумма цифр трёхзначного числа, то

Ещё по признаку равноостаточности дает такой же остаток при делении на 3, что и число Если этот остаток равен 0, то остаток произведения тоже равен 0. Если же остаток при делении на 3 равен 1 или 2, то остаток произведения равен 1.

Значит, произведение не может иметь остаток 2 при делении на 3.

Число 1106 имеет остаток 2 при делении на 3, так как

Такое невозможно. Значит,

в) Число 1503 делится на 3, поэтому число 1504 имеет остаток 1 при делении на 3 и теоретически может быть равно 1504. Разложим 1504 на простые множители: Так как то возможны только четыре пары чисел Это пары

Во всех парах сумма цифр числа не равна числу Значит

Число 1505 имеет остаток 2 при делении на 3, поэтому

Число 1506 делится на 3. Но если какое-то из чисел и делится на 3, то второе тоже делится на 3. Значит, произведение кратно 9. Но 1506 не делится на 9, поэтому

Разложим 1507 на простые множители: Этот вариант подходит, так как Значит, наименьшее значение, которое может принимать выражение равно 1507.