.00 №19 из ЕГЭ 2020

Заметим, что последняя цифра суммы чисел зависит только от последних цифр слагаемых. На доске записаны числа, которые оканчиваются на 4. Посмотрим, на какую цифру может оканчиваться их сумма. Для этого построим табличку:

Видно, что такая последовательность последних цифр сумм чисел, оканчивающихся на 4, циклична с периодом 5, так как сумма пяти таких чисел оканчивается на 0.

а) Нас просят узнать, может ли сумма таких чисел равняться 282. Она оканчивается на 2, поэтому количество слагаемых может быть равно 3, (можем свериться с табличкой) и так далее.

Попробуем построить пример для трех слагаемых. Наименьшие два числа, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4, это 24 и 54, тогда третье число равно

Получили три числа, удовлетворяющих условию задачи: 24, 54 и 204. Значит, ответ — может.

б) Согласно условию задачи, каждое слагаемое должно делиться на 3 и оканчиваться на 4. Рассмотрим все числа, которые подходят под условие. Составим из них возрастающую последовательность. Тогда разность любых двух соседних чисел этой последовательности делится на 10, так как все числа оканчиваются на 4. С другой стороны, она делится на 3, так как все числа делятся на 3. То есть делится на 30, так как числа 3 и 10 взаимно просты. Мы рассматриваем соседние числа последовательности, поэтому такая разность должна быть минимальна, значит, она равна 30. Первым числом последовательности будет 24, так как это минимальное натуральное число, которое оканчивается на 4 и делится на 3.

Нас просят узнать, может ли сумма таких чисел равняться 390. Она оканчивается на 0, поэтому количество слагаемых должно быть равно Рассмотрим сумму 5 наименьших чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4:

То есть наименьшая сумма, которую мы можем получить с 0 на конце, это 420, а по условию нужно Значит, сумма чисел не может равняться

в) В пункте б) мы получили, что все числа, делящиеся на 3 с четверкой на конце, образуют арифметическую прогрессию с разностью 30 и первым членом 24.

Нам требуется определить, какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226. Если это так, то количество слагаемых имеет вид где — целое неотрицательное число. Так как мы хотим определить, какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске, то нам нужно рассматривать сумму первых членов полученной арифметической прогрессии. Так как эта сумма должна быть не больше 2226, мы получим оценку на

Вспомним формулу суммы первых членов арифметической прогрессии: если — первый член и — разность прогрессии, то

Значит, сумма первых членов нашей арифметической прогрессии равна

Заметим, что при получается следующее:

Значит, не больше единицы и слагаемых может быть максимум Осталось показать, что такая ситуация точно возможна, то есть предъявить пример.

Чтобы составить пример, достаточно взять 8 наименьших чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4, и девятое слагаемое, подходящее по сумме всех чисел, получим естественным образом:

То есть наибольшее количество чисел с суммой 2226 — это 9.