.00 №19 из ЕГЭ 2020

а) Начальная средняя масса гирек в граммах в первой кучке равна

Далее добавили гирьку массой г и средняя масса гирек должна увеличиться на 1 г. Тогда можем составить уравнение:

То есть единственный возможный вариант — это добавить гирьку массой 9 г в первую кучку. Но в наборе каждая гирька в единственном экземпляре и гирька с массой 9 г уже в первой кучке есть. Значит, ответ — не могла.

б) Пусть общий вес гирек в первой кучке изначально равен г и их средний вес до перекладывания равен 7,5 г. Тогда имеем:

При добавлении одной гирьки массой г средний вес должен увеличиться на 1 г. Тогда запишем уравнение:

Но г — вес гирьки, а — количество гирек, то есть оба числа целые и разность не может быть нецелым числом. Значит, ответ — не мог.

в) К гирькам общим весом г добавили гирьку массой г. Тогда составим уравнение:

Теперь заметим, что суммарный вес гирек не меньше, чем вес наименьших гирек (это гирьки 1 г, 2 г, …, г), то есть

Значит, их средний вес

Также заметим, что максимальный вес гирьки это 100 г, то есть Исходя из полученного выше уравнения, можем составить неравенство:

Значит, максимальное значение равно 65. Осталось показать, что такая ситуация точно возможна, то есть привести пример. Хотим получить следующее:

Если взять самые маленькие гири 1 г, 2 г, …, 65 г в изначальный набор первой кучки, то

Тогда Получили то есть в изначальный набор из 65 наименьших гирек нужно добавить гирю 99 г, и их средний вес увеличится на 1. Значит, ответ то есть в первой кучке изначально могло быть максимум 65 гирек.