.00 №19 из ЕГЭ 2019

а) Пусть в первый день Вася решил задач, тогда Петя в этот день решил задачу. Если Петя решил все задачи за 5 дней, можем составить таблицу решенных задач за эти 5 дней:

Номер дня	1	2	3	4	5
Количество задач Пети
Количество задач Васи

Заметим, что Вася за 5 дней решил на 15 задач меньше, чем Петя, но Петя прорешал весь сборник. Значит, если описываемое в задаче возможно, то Вася за следующие несколько дней (начиная с 6) должен дорешать эти 15 задач, причем это число должно представляться в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел (так как он решал каждый день на одну задачу больше, чем в предыдущий), каждое из которых больше 5. Такое может быть, например, если в шестой день он решит задач, а в седьмой — , то есть в первый день Вася решил 2 задачи, а Петя — 3.

Значит, могло получиться так, что Петя решил все задачи за 5 дней.

б) Пусть в первый день Вася решил задачу, тогда Петя в этот день решил задач. Если Петя решил все задачи за 4 дня, можем составить таблицу решенных задач за эти 4 дня:

Номер дня	1	2	3	4
Количество задач Пети
Количество задач Васи

Заметим, что Вася за 4 дня решил на 2 задачи меньше, чем Петя, при этом Петя прорешал весь сборник. Тогда, начиная с пятого дня, Васе осталось дорешать 2 задачи, при этом в пятый день он должен решить задач. Но так как , в пятый день Вася решит задач — противоречие.

Значит, такое не могло случиться.

в) Каждый из ребят решал задачи более 6 дней. Пусть Петя в первый день сделал задач и решал весь сборник ровно 7 дней. Тогда количество задач в сборнике равно (по формуле суммы арифметической прогрессии)

Разберем отдельно случаи, когда Вася решил в первый день на одну задачу больше Пети и когда на одну задачу меньше.

• Если Вася решил в первый день на одну задачу больше, чем Петя, то за семь дней он решил

  

  задач, что меньше количества задач в сборнике. Следовательно, Вася решал задачи более семи дней. За восемь дней он бы решил задач. Уравнение имеет решение . За девять или более дней Вася бы решил хотя бы , то есть больше задач, чем в сборнике. В таком случае получаем, что всего в сборнике 84 задачи (в первый день Петя решил 6 задач, а Вася 7).

• Если Вася решил в первый день на одну задачу меньше, чем Петя, то за семь дней он решил

  

  задач, что меньше количества задач в сборнике. Следовательно, Вася решал задачи более семи дней. За восемь дней он бы решил задач, за девять дней задач, за десять дней задач, за большее число дней как минимум задачи (что заведомо больше ). Уравнения не имеют целых решений, меньших 6. Значит, этот случай невозможен.

Теперь рассмотрим случаи, когда Петя решал задачи более семи дней. Перечислим всевозможные значения, которые может принимать сумма

Это числа

Это так называемые «треугольные числа». Нас интересует такая сумма, потому что это количество задач, решенных Васей, но без нескольких первых слагаемых (в зависимости от числа задач, решенных в первый день).

Если Петя решил весь сборник за 8 дней, то он решил задач. Нас интересует, может ли это число быть меньше 84. Необходимо проверить , , .

• При задач в сборнике . Вася в первый день решил 2 задачи (0 не может быть по условию), то есть всего Вася решил задач. Следовательно, 64 должно быть меньше треугольного числа на 1. Это не выполняется, получаем противоречие.
• При задач в сборнике . Вася в первый день решил или 1 задачу, или 3 задачи. Следовательно, 72 должно или совпадать с треугольным числом, либо быть меньше него на . Это не выполняется, получаем противоречие.
• При задач в сборнике . Вася в первый день решил или 2, или 4 задачи. Следовательно, 80 должно быть меньше треугольного числа или на 1, или на . Это не выполняется, получаем противоречие.

Если же Петя решил весь сборник за 9 дней, то он решил задач. Но только при . Тогда в сборнике 81 задача. В первый день Вася решил 2 задачи. Следовательно, 81 должно быть на 1 меньше треугольного числа — противоречие.

Если Петя решал сборник более 9 дней, то он решил как минимум задач.

Значит, 84 — это наименьшее возможное количество задач в сборнике. Достигается такое число в случае, когда в первый день Петя решил 6 задач, а Вася 7.