.00 №19 из ЕГЭ 2020

а) Заметим, что если у нас на доске записано хотя бы две единицы, то на следующий день можно написать такой же набор с заменой двух единиц на одну тройку, тогда количество чисел уменьшится на 1, а сумма увеличится на 1 и все условия при этом выполняются. Значит, можно изначально написать 12 единиц и пять раз заменять две единицы на тройку, тем самым получим корректную последовательность наборов на 6 дней. Таким образом, может быть больше 5.

б) Построим пример для В первый день запишем число 2 и двенадцать чисел 3, во второй день — двенадцать чисел 4, в третий день — шесть чисел 4 и пять чисел 5, а в четвёртый день — десять чисел 5. Тогда сумма чисел в первый день равна 38, во второй — 48, в третий — 49, а в четвёртый — 50. Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день равна

Среднее арифметическое всех записанных чисел равно

в) Так как сумма чисел, записанных в первый день, равна 6, то записано не более шести чисел. По условию в каждый следующий день количество чисел хотя бы на 1 меньше, а сумма хотя бы на 1 больше, чем в предыдущий.

• Если то в шестой день записано одно число. Но в шестой день сумма должна быть строго больше суммы первого дня, что невозможно, так как числа больше 5 использовать нельзя.
• Если то в пятый день записано максимум 2 числа с суммой не более 10. Тогда суммы в четвертый, третий и второй дни не более 9, 8, 7 соответственно, следовательно, сумма всех чисел не более
• Если то в четвертый день записано максимум 3 числа с суммой не более 15. Тогда суммы в третий и второй дни не более 14 и 13 соответственно, следовательно, есть сумма всех чисел не более
• Если то в третий день записано максимум 4 числа с суммой не более 20. Тогда сумма во второй день не более 19, следовательно, сумма всех чисел не более .
• Если то во второй день записано максимум 5 чисел с суммой не более 25, следовательно, сумма всех чисел не более
• Если то сумма всех чисел ровно 6.

Получили, что сумма чисел точно не превосходит 48. Приведем пример на основании рассуждений выше для суммы 48. Это возможно при тогда в четвертый день записаны 3 числа с суммой 15 — это 5, 5, 5; в третий день — 5, 5, 3, 1; во второй — 5, 5, 1, 1, 1; в первый — 1, 1, 1, 1, 1, 1. Общая сумма равна

Значит, наибольшая возможная сумма всех чисел при данных условиях равна 48.