.00 №19 из ЕГЭ 2019

Так как квадратное уравнение имеет два различных натуральных корня, то можно записать , где — корни уравнения. Тогда , . Всюду ниже, не умаляя общности, будем считать, что .

а) , где . Число 55 можно разложить на натуральные множители только двумя различными способами: . Значит, , или , . Получаем или соответственно.

б)

Можем к обеим частям уравнения прибавить единицу, чтобы удобно разложить на множители:

и натуральные, следовательно, множители в левой части целые неотрицательные. Число 31 можно единственным способом разложить в произведение целых неотрицательных множителей, получим

в) Имеем

Заметим, что числа и отличаются на , значит, они одной четности. Так как 2108 четное число, хотя бы один из множителей должен быть четным, но тогда и второй множитель будет четным.

Рассмотрим все возможные разложения числа 2108 на два целых четных множителя. В каждом множителе должно быть по двойке, а множители 17 и 31 либо окажутся в одном, либо в разных множителях. Также либо оба множителя должны быть отрицательны, либо оба положительны, получаем всего четыре случая:

Мы знаем, что , причем , следовательно, и . Таким образом, в каждом из случаев будет соответствовать большему из множителей.

• 

  Получаем систему

  
• 

  Получаем, что , что невозможно при натуральных и .

• 

  Получаем систему

  

  Эта система не имеет натуральных решений.

• 

  Получаем, что , что невозможно при натуральных и .

Разобрав все случаи, получили, что корнями уравнения могут быть только числа 6 и 8.