.00 №19 из ЕГЭ 2019

а) Заметим, что если взять набор различных чисел, где каждое либо простое, либо единица, то никакие два числа не будут иметь общего делителя, большего 1. Основываясь на этом замечании, можно построить пример:

б) Пусть сумма пяти чисел равна 23, то есть она нечётная. Тогда среди этих чисел будет нечётное количество нечётных и чётное количество чётных. Заметим, что среди этих пяти чисел чётным может быть максимум одно, иначе будут два числа, делящиеся на 2. Значит, чтобы получить сумму 23, можно использовать только нечётные числа. Посчитаем наименьшую возможную сумму пяти нечетных чисел:

Следовательно, получить сумму 23 из пяти различных чисел, описанных в условии, нельзя.

в) Заметим, что нечётную сумму, меньшую 25, составить нельзя, потому что рассуждение пункта б) работает для любого нечетного числа . Тогда посмотрим, какую минимальную чётную сумму можем получить.

Если сумма пяти чисел чётна, то среди этих пяти чисел будет чётное количество нечётных и нечётное количество чётных, причем по доказанному в пункте б) чётное число может быть максимум одно. Тогда минимальная чётная сумма, которую мы можем получить, равна сумме наименьших четырёх нечётных чисел и наименьшего чётного числа. То есть

— наименьшая возможная чётная сумма. При этом набор чисел

удовлетворяет условию задачи. Так как то 18 — наименьшее возможное значение, которое может принимать сумма пяти попарно взаимно простых чисел.