.00 №19 из ЕГЭ 2019

а) Стороны склада — целые числа, и его объем 120 делится на 3, поэтому есть сторона, длина которой кратна 3. Обозначим ее длину через м. Тогда выложим контейнеров с размерами м длинной стороной вдоль стены с длиной м. Длины остальных сторон склада делятся на длины других сторон контейнеров, так как любое целое число делится на 1. Тогда аналогичным образом продолжим выкладывать контейнеры и заполним такими операциями весь склад.

Значит, склад размером 120 кубометров точно можно заполнить данными контейнерами.

б) Попробуем построить пример. Для того чтобы не пришлось рассматривать много случаев, возьмем такой склад, в который можно поместить контейнеры только одним способом. То есть две стороны должны быть меньше 3. Если возьмем склад размером м, то сторона длины 3 м любого из уложенных контейнеров должна быть параллельна стороне длины 25 м склада. Мысленно разделим склад на четыре полосы размерами . В каждую из них можно поместить не больше 8 контейнеров. Возможно, некоторые контейнеры будут лежать в нескольких полосах одновременно. В любом случае максимальное количество уникальных контейнеров, которые можно разместить на складе , равно .

Значит, поместить 33 контейнера не удастся.

в) Рассмотрим склад размером м. Вдоль стен со сторонами 2 м не получится класть контейнеры стороной 3 м, значит, сторона 3 м у контейнеров будет лежать вдоль стены 200 м. То есть по соображениям из пункта б) на такой склад поместится максимум контейнера. Тогда останется свободным хотя бы

кубометров объема, то есть склада. Значит, более чем объема склада гарантированно заполнить не удастся.

Теперь докажем, что хотя бы объема при любой другой конфигурации склада заполнить получится. Пусть дан склад размером и сторона м. Тогда можем мысленно отделить часть склада со стороной 3 м и останется объем , а часть склада можно полностью заполнить контейнерами с помощью алгоритма из пункта а). Такую операцию можно делать с любой стороной склада, длина которой не меньше 3. Тогда будем продолжать отрезать части склада со стороной 3 м до тех пор, пока не останется параллелепипед с измерениями, не превосходящими . Получили, что пустым будет максимум 8 кубометров из 800, то есть максимум .

Таким образом, хотя бы объема при любой конфигурации склада получится заполнить.