.00 №19 из ЕГЭ 2019

а) Если , то можем сделать , а потом снова домножить на 2 и получить . То есть мы научились строить последовательность из двух различных чисел (нечетные члены равны 196, а четные — 98). Чтобы получить последовательность из 5 различных чисел, достаточно лишь последние три числа сделать отличными от 98 и 196. По построению выше . Тогда следующие три члена можем получить домножением на 2 предыдущих: , и . Итого, в последовательности есть 5 различных чисел: 98, 196, 392, 784 и 1568.

б) По числу будем последовательно находить числа , и так далее. Каждый член последовательности либо вдвое больше, либо на 98 меньше предыдущего. Число нечётно. Поймем, что перед нечётным числом в последовательности могло стоять только нечётное. Числа в последовательности натуральные, поэтому рассмотрим два варианта:

• Пусть число чётно. Тогда следующее число либо , либо . Оба числа чётны. То есть после чётного числа всегда идет чётное. Значит, перед нечётным числом всегда стоит нечётное.
• Пусть нечётно. Тогда следующее число либо — чётное, либо — нечётное. Значит, перед нечётным числом может стоять только число на 98 больше, то есть тоже нечётное. Тогда если число нечётное, то перед ним может стоять только число , которое тоже нечётно. Следовательно, мы можем восстановить число .

Вернемся к нашей последовательности. Число нечётно. Тогда предыдущее число мы можем однозначно восстановить: . Аналогично мы можем однозначно восстановить все предыдущие члены последовательности, так как каждое из полученных чисел будет нечётно. То есть

в) Пусть — значение наибольшего члена последовательности. Заметим, что наибольший член последовательности больше 98, иначе из любого числа не было бы возможности вычитать 98 и получать натуральное число. То есть каждое следующее число получалось из предыдущего умножением на 2. Но в таком случае — явно больше 98.

Тогда будем перебирать возможные варианты наибольших чисел: 99, 100, 101 и так далее. От каждого рассматриваемого числа будем восстанавливать последовательность в обе стороны. Если получим последовательность, которую нельзя продолжить ни в одну сторону, и количество членов в ней будет меньше 400, то число, которое мы рассматривали, нам не подходит. При построении цепочки будем учитывать следующие особенности последовательности:

• После числа идет число , иначе не наибольшее.
• Перед числом стоит число вдвое меньше, если чётно. Если нечётно, то перед ним не может ничего стоять, иначе не наибольшее.
• Если число чётно и больше, чем , то слева может стоять только число вдвое меньше.
• Если число нечётно и больше , то слева ничего не может стоять.
• Если число меньше 98 и меньше , то справа стоит число вдвое больше.
• Если число меньше 98 и больше , то справа ничего не может стоять.

Начнём перебор:

• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то и . Тогда возможна только последовательность (или ее часть)
• Если , то возможна только последовательность (или ее часть)

Все полученные последовательности нам не подходят, так как количество членов в них меньше 400. Значит, наибольшее число последовательности равно хотя бы 112. В этом случае можно составить последовательность, где наибольшее число действительно равно 112: