.00 №19 из ЕГЭ 2019

а) Пусть было два эксперта и они оценили 5 кинофильмов, тогда среднее геометрическое будет вычисляться с помощью квадратного корня. Тогда для каждого фильма произведение оценок экспертов должно быть квадратом натурального числа.

Заметим, что максимальное произведение двух различных чисел от 1 до 10 — это 90, значит, произведением оценок экспертов могут быть только квадраты чисел от 1 до 9.

Однако числа 1, 25, 49, 64 и 81 нельзя представить в виде произведения двух различных чисел от 1 до 10. Значит, всего целых оценок получится не больше 4, то есть два эксперта могли оценить максимум 4 кинофильма. Противоречие.

Значит, при двух экспертах не могло быть 5 кинофильмов.

б) Если могло быть три эксперта, то среднее геометрическое будет вычисляться с помощью корня третьей степени. Значит, степень вхождения каждого простого множителя в произведение трёх чисел должна быть кратна трём.

Множитель 5 входит только в числа 5 и 10 в степени 1, то есть количество 5 в произведении оценок экспертов может быть максимум 2. Значит, эти числа не будут участвовать в построении примера. По аналогичным причинам не подходит и число 7.

Мы хотим составить пример, в котором в произведение трех оценок множитель 2 входит в степени или 0, или 3, или 6, и множитель 3 входит в степени или 0, или 3. Получатся следующие тройки оценок:

Тогда рейтинги кинофильмов равны 2, 3, 4, 6 соответственно.

Значит, могло быть 3 эксперта и 4 кинофильма.

в) Докажем, что более 4 экспертов быть не может.

Разложим числа от 1 до 10 на простые множители:

Заметим, что каждый из простых множителей 3, 5 и 7 входит в разложение не более 4 раз суммарно во все числа от 1 до 10. Значит, если будет экспертов, то оценки, содержащие множители 3, 5 или 7 использоваться не могут, так как чтобы корень -й степени был целым, каждый из простых множителей должен входить в произведение хотя бы в -й степени.

Остается лишь четыре числа, которые могут быть оценками экспертов: 1, 2, 4, 8. Их всего четыре, то есть более четырёх экспертов быть не может.

Пусть будет 4 эксперта. Так как множитель 3 входит ровно в 4 степени в произведение чисел от 1 до 10, то чтобы извлечь целый корень четвертой степени, нужно либо использовать в произведении все числа, которые кратны 3, либо ни одно из них.

Построим пример, в котором используются оценки 3, 6 и 9.

Найдем четвертую оценку. В произведение двойка входит в степени 1. То есть чтобы извлечь корень четвертой степени, рассматриваемое произведение нужно домножить еще на . Получаем 4 эксперта с набором оценок , то есть рейтинг фильма равен 6.

Значит, максимум могло быть 4 эксперта для одного кинофильма.