.00 №19 из ЕГЭ 2012

а) Чтобы в результате перемножения сумм получился 0, один из множителей должен быть равен 0, то есть сумма двух чисел на карточке должна равняться 0. Но для этого у нас в изначальном наборе должны быть два числа, противоположные по знаку. Таких чисел нет, значит, произведение сумм не могло равняться 0.

б) Чтобы в результате перемножения сумм получилась 1, все делители должны равняться 1 или -1. То есть числа на каждой карточке должны отличаться по модулю на 1, при этом они должны быть противоположны по знаку.

Тогда в пару к -11 подходит только 10. Аналогично для -11 на обратной стороне, значит, числа -11 и 10 мы больше не можем использовать на других карточках.

В пару к 9 подходит только -8. Аналогично для 9 на обратной стороне, то есть числа 9 и -8 мы использовали уже по два раза. Но тогда в пару к 7 мы не можем поставить ни одно число, так как в нашем наборе отсутствует число -6. Значит, произведение сумм не может равняться 1.

Здесь показано, как можно решить данный пункт методом перебора, в пункте в) доказано, почему произведение сумм не может равняться нечетному числу.

в) Заметим, что изначально нам дан набор из 4 четных и 6 нечетных чисел. Это значит, что не получится написать числа на карточках так, чтобы все суммы были нечетными, так как для получения нечетной суммы нужно сложить четное число и нечетное, а их у нас неравное количество. Значит, хотя бы один множитель будет четным, следовательно, все произведение сумм будет четным. Значит, оно не может равняться никакому нечетному числу.

В пункте а) мы доказали, что произведение сумм не может равняться 0. По рассуждению выше оно не может равняться 1. Посмотрим, может ли произведение сумм равняться 2.

Заметим, что 2 можно получить, только перемножая и так как 2 — простое число. Всего мы перемножаем десять сумм, значит, ровно одна из них должна быть четной, то есть равняться а остальные 9 должны быть нечетными. Сумма на карточке может быть нечетным числом только тогда, когда с одной стороны написано четное число, а с другой — нечетное. Всего на карточках записано 8 четных чисел, следовательно, нечетных сумм может быть не больше 8. Противоречие. Значит, произведение сумм не может равняться 2. Также оно не может равняться 3, так как это нечетное число.

На 4 есть пример, который можно построить с помощью предыдущих рассуждений:

Первое число в скобках является числом на передней стороне, а второе — числом на обратной стороне карточки.

Проверим произведение:

Значит, наименьший целый неотрицательный результат, который может получиться, равен 4.