.00 №19 из ЕГЭ 2012

Обозначим суммы в группах через , а сумму полученных модулей из условия обозначим как

Пусть, не умаляя общности, Тогда из упорядочивания модули раскрываются однозначно и имеем сумму:

а) Имеем

Заметим, что

Нетрудно понять, что достигается только при и следовательно

Сумма всех данных чисел равна 78, а значит, сумма чисел в каждой группе равна но это число нецелое, а сумма в каждой группе должна быть целой — противоречие. То есть 0 в результате получиться не мог.

б) Имеем

Заметим, что оба слагаемых в скобках неотрицательны, а первое слагаемое кратно 3, значит, иначе будем минимум 3, а мы хотим 1. Но из того, что следует По пункту а) такое невозможно. То есть число 1 в результате получиться не могло.

в) По предыдущим пунктам понятно, что равно хотя бы 3. Тогда попробуем найти пример для Поскольку невозможно, то так как рассматриваем вариант Тогда иначе сумма будет больше чем 3.

Пусть Тогда возможны два случая:

• 
• 

В обоих случаях получаются нецелые числа, значит, быть не могло.

Если же то и значит,

Отсюда строим пример:

Получить эти суммы можно так:

Тогда наименьшее значение суммы модулей равно 4.