.00 №19 из ЕГЭ 2019

Обозначим сумму всех чисел на красных карточках а сумму всех чисел на синих карточках Так как по условию среднее арифметическое всех чисел равно 16, то

После увеличения в два раза всех чисел на синих карточках их сумма тоже увеличилась в два раза, а среднее арифметическое стало равно 31,2, то есть

а) Если синих карточек 10, то красных

Так как на всех карточках написаны натуральные числа, то каждое число равно минимум 1. В таком случае сумма чисел на красных карточках ровно 40, поэтому на всех красных карточках написано 1. Иначе если увеличим хотя бы одно число, то сумма будет больше 40. Значит, теперь нужно понять, какие числа могли быть записаны на синих карточках. Заметим, что их сумма равна

Тогда можно взять 5 пар чисел, равноудаленных от числа 76, чтобы все числа были разные и сумма оставалась равной 760. Получается пример:

Здесь все числа различные и больше 1, то есть любого из чисел на красных карточках.

б) Если красных карточек 10, то синих

Заметим, что если числа на всех красных карточках не больше 3, то сумма равна максимум но — противоречие. Значит, есть красная карточка с числом 4 или больше, значит, числа на синих карточках не меньше 5. Посчитаем наименьшую возможную сумму на синих карточках. Для этого вспомним формулу суммы первых членов арифметической прогрессии: если — первый член и — разность прогрессии, то

Тогда первый член прогрессии равен 5 и каждый следующий увеличивается минимум на 1, а всего их 40:

Получили, что наименьшая сумма больше полученной из условия задачи, то есть 10 красных карточек быть не могло.

в) Докажем, что 36 и больше синих карточек быть не может. В этом случае красных карточек не больше 14, тогда наибольшее число на них не менее 3, иначе сумма будет равна максимум

Значит, числа на синих карточках не меньше 4. Посчитаем наименьшую возможную сумму на синих карточках, если чисел хотя бы 36:

Получили, что наименьшая сумма больше полученной из условия задачи, то есть не могло быть 36 и более синих.

Теперь достаточно привести пример на 35 синих карточек.

Красные карточки: пять чисел 2 и десять чисел 3 с суммой

Синие карточки: 34 последовательных числа от 4 до 37 с суммой 697 и последнее число равно

Получили, что все числа различные и больше чисел на красных карточках.

Значит, максимум могло быть 35 синих карточек.