.00 №19 из ЕГЭ 2019

а) В условии требуется получить 0 в итоговом произведении. Произведение равно нулю только тогда, когда один из множителей равен нулю. Каждый множитель — сумма чисел в вершинах одного из треугольников. Значит, если произведение равно 0, то и одна из сумм равна 0.

Пусть нашелся треугольник, сумма чисел в вершинах которого равна 0. Если сумма чисел в вершинах треугольника равна 0, то в вершинах должно быть хотя бы одно отрицательное и одно положительное число, так как среди чисел у нас нет 0.

Минимальное положительное число из нашего набора равно 8. Тогда и сумма отрицательных чисел по модулю должна быть хотя бы 8. Среди чисел набора два самых больших по модулю отрицательных числа — это -4 и -3 с суммой, равной -7. Получили противоречие.

Значит, сумма чисел в вершинах треугольника не могла равняться 0, а следовательно, и произведение таких сумм не могло равнятся 0.

б) Пусть произведение трех сумм могло равнятся 270. Рассмотрим, какая наибольшая сумма чисел в трех вершинах могла получиться. Тогда для трех наибольших чисел получаем наибольшую возможную сумму:

Посмотрим, как можно разложить на множители 270, если наибольший из них не превосходит 33. Наибольшее число, не превосходящее 33, на которое делится 270, равно 30. Тогда произведение двух оставшихся множителей равно 9.

Рассмотрим, как могла получится сумма 30:

Тогда остались числа

Нам нужно получить из них две суммы, произведение которых будет равно 9. Общая сумма оставшихся чисел равна 10. Тогда двумя множителями могут быть суммы

Следовательно, произведение сумм чисел в вершинах треугольника может быть равно 270, если в вершинах первого треугольника написаны числа , в вершинах второго — числа , в вершинах третьего — числа

в) По условию нам нужно получить наименьшее возможное произведение двух сумм. Мы можем получить отрицательное произведение, если одна из сумм будет положительной, а вторая отрицательной. Значит, нам нужно найти наибольшее по модулю отрицательное произведение.

Посмотрим, какое наибольшее по модулю значение может принимать отрицательная сумма. Для этого нужно взять три наибольших по модулю отрицательных числа из всего набора:

Посмотрим, какое наибольшее значение может принимать положительная сумма. Для этого нужно взять три наибольших положительных числа из всего набора:

Заметим, что все взятые шесть чисел различны, значит, наибольшее по модулю отрицательное произведение равно произведению наименьшего возможного отрицательного и наибольшего возможного положительного множителей, то есть