.00 №19 из ЕГЭ 2015

Пусть ое выписанное число имеет вид где Для суммы по всем значениям индекса таким, что слагаемое есть этой в сумме, используем обозначение Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид

Обозначим тогда

После смены мест цифр ое полученное число имеет вид Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид

а) Увеличение суммы в 4 раза равносильно тому, что новая сумма равна что равносильно Рассмотрим систему

Вычитая из второго уравнения первое, находим, что откуда Подставляя это в первое уравнение системы, находим тогда

Попробуем брать в качестве 9, пока их сумма не превосходит 143 — так можно положить

то есть в сумме 16 слагаемых. Тогда можно положить

б) Увеличение суммы в 2 раза равносильно тому, что новая сумма равна что равносильно Рассмотрим систему

Вычитая из второго уравнения первое, находим, что но 363 не делится на 9, следовательно, такой случай невозможен.

в) Пусть сумма полученных чисел равна что равносильно системе

Вычитая из второго уравнения первое, находим, что откуда Подставляя это в первое уравнение системы, находим

Отсюда в частности следует, что Тогда для некоторого целого неотрицательного и

Покажем, что В самом деле, если бы было тогда число слагаемых в исходной сумме было бы не менее чем 20, так как но тогда

Так как то то есть При получим

Аналогично примеру из пункта а) построим решение.

Попробуем брать в качестве 9, пока их сумма не превосходит 163 — так можно положить

то есть в сумме 19 слагаемых. Тогда можно положить

Тогда искомая сумма , максимальная