№19 из ЕГЭ 2015

Пусть ое выписанное число имеет вид где Для суммы по всем значениям индекса таким что слагаемое есть этой в сумме, используем обозначение

Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид

Обозначим тогда

После смены мест цифр ое полученное число имеет вид Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид

 

а) Уменьшение суммы в 3 раза равносильно тому, что новая сумма равна что равносильно

Рассмотрим систему

Вычитая из первого уравнения второе, находим, что откуда Подставляя это в первое уравнение системы, находим тогда

Попробуем брать 9 в качестве пока их сумма не превосходит 290 — так можно положить

то есть в сумме 33 слагаемых. Тогда можно положить

б) Уменьшение суммы в 5 раза равносильно тому, что новая сумма равна что равносильно

Рассмотрим систему

Вычитая из первого уравнения второе, находим, что откуда Подставляя это в первое уравнение системы, находим тогда

Так как а все то слагаемых в сумме не более 30, но тогда Следовательно, при не может быть выполнено

в) Пусть сумма полученных чисел равна что равносильно системе

Вычитая из первого уравнения второе, находим, что откуда

Подставляя это в первое уравнение системы, находим

Отсюда в частности следует, что делится на 99.

Покажем, что Действительно, так как все то при не более чем 30 слагаемых сумма исходных чисел не превзойдёт Тогда

Отсюда но делится на 99, тогда

При получим откуда

Аналогично примеру из пункта а) построим решение.

Попробуем брать 9 в качестве пока их сумма не превосходит 293 — так можно положить

то есть в сумме 33 слагаемых. Тогда можно положить

Тогда искомая сумма

Пусть ое выписанное число имеет вид где Для суммы по всем значениям индекса таким, что слагаемое есть этой в сумме, используем обозначение Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид

Обозначим тогда

После смены мест цифр ое полученное число имеет вид Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид

а) Увеличение суммы в 4 раза равносильно тому, что новая сумма равна что равносильно Рассмотрим систему

Вычитая из второго уравнения первое, находим, что откуда Подставляя это в первое уравнение системы, находим тогда

Попробуем брать в качестве 9, пока их сумма не превосходит 143 — так можно положить

то есть в сумме 16 слагаемых. Тогда можно положить

б) Увеличение суммы в 2 раза равносильно тому, что новая сумма равна что равносильно Рассмотрим систему

Вычитая из второго уравнения первое, находим, что но 363 не делится на 9, следовательно, такой случай невозможен.

в) Пусть сумма полученных чисел равна что равносильно системе

Вычитая из второго уравнения первое, находим, что откуда Подставляя это в первое уравнение системы, находим

Отсюда в частности следует, что Тогда для некоторого целого неотрицательного и

Покажем, что В самом деле, если бы было тогда число слагаемых в исходной сумме было бы не менее чем 20, так как но тогда

Так как то то есть При получим

Аналогично примеру из пункта а) построим решение.

Попробуем брать в качестве 9, пока их сумма не превосходит 163 — так можно положить

то есть в сумме 19 слагаемых. Тогда можно положить

Тогда искомая сумма , максимальная

а) Попробуем построить пример. Возьмем в наш набор единицу. Тогда если она не будет входить в сумму двух чисел, то будет делить ее. Также возьмем в наш набор двойку. Для того чтобы она делила все суммы, в которые не входит, остальные числа должны быть нечетными. Значит, наш набор будет выглядеть так: и еще 1021 нечетное число.

Рассмотрим сумму единицы и двойки. Она равна поэтому тройка должна содержаться в нашем наборе. Так как — нечетное число, противоречия не возникает. Остальные 1020 нечетных чисел можем набрать произвольным образом.

Тогда, например, набор чисел на доске может быть таким:

В этом наборе есть числа и 1020 нечетных чисел от до Сумма двух чисел, каждое из которых не единица, будет делиться на единицу. Сумма единицы и двойки будет делиться на тройку, сумма единицы и любого нечетного числа будет делиться на двойку.

б) Следуя рассуждениям предыдущего пункта, мы можем взять набор из чисел и добавить к нему любое количество нечетных чисел. В таком наборе будут выполняться все условия задачи.

Тогда, например, набор чисел на доске может состоять из пяти чисел:

Сумма двух чисел, каждое из которых не единица, будет делиться на единицу. Сумма единицы и двойки будет делиться на тройку, сумма единицы и любого нечетного числа будет делиться на двойку.

в) Докажем, что для трёх чисел не может выполняться условие задачи. Рассмотрим три числа Тогда и при этом по условию должно делиться на Пусть где Тогда имеем:

Значит, на доске написаны числа и

Заметим, что тогда по условию должно делиться на следовательно, и должно делиться на Пусть где Тогда и имеем:

Значит, на доске написаны числа и Заметим, что число не делится ни на ни на следовательно, Но тогда что противоречит условию. Значит, три числа не доске написаны быть не могут. Так как по условию на доске записано не менее трех чисел, то мы получили, что на доске должно быть не менее четырех чисел.

Пример на четыре числа:

Сумма двух чисел, каждое из которых не единица, будет делиться на единицу. Сумма единицы и двойки будет делиться на тройку, сумма единицы и любого нечетного числа будет делиться на двойку.

а) Пусть всего было два участника, которые изначально набрали 82 и 2 балла и не сдали тест.

Тогда их средний балл равен

После добавления баллов у учеников оказалось 87 и 7 баллов. Тогда средний балл не сдавших тест учеников равен 7. Значит, средний балл не сдавших тест учеников мог уменьшиться.

б) Добавим к примеру из предыдущего пункта ученика, который изначально сдал тест, пусть его балл при этом равен Значит, средний балл сдавших тест учеников изначально был равен После добавления баллов средний балл сдавших тест учеников стал равен

По условию этот средний балл должен быть меньше тогда имеем неравенство:

Пусть изначально ученики получили 94, 82 и 2 балла. Тогда начальный и конечный средние баллы не сдавших тест такие же, как в примере пункта а), и средний балл понизился с 42 до 7. Начальный средний балл сдавших равен 94, а конечный средний балл сдавших равен

Значит, средний балл не сдавших тест учеников и средний балл сдавших тест учеников могли уменьшиться.

в) Пусть всего учеников сдавали тест, при этом изначально тест сдали человек, а после добавления баллов — человек.

Заметим, что после добавления 5 баллов к результату каждого ученика средний балл всех учеников тоже увеличился на 5, то есть стал равен 95.

Изначально сумма баллов равна с другой стороны, она равна После добавления баллов сумма баллов стала равна или Имеем систему из двух уравнений:

Тогда должно делиться на 5 и на 3, то есть должно делиться на 15. Следовательно, Если то и Значит, после добавления баллов добавился ровно один ученик, который сдал тест.

Пусть изначально каждый из девяти сдавших тест учеников получил по баллов, один из не сдавших получил баллов, остальные пять получили по баллов.

Тогда изначальный средний балл сдавших равен

Конечный средний балл сдавших равен

Изначальный средний балл не сдавших равен

Значит, могло равняться 15, если изначально пять учеников набрали по 74 балла, один ученик набрал 80 баллов и девять учеников набрали по 100 баллов.

Тогда средний балл участников теста был равен 90, средний балл сдавших тест учеников был равен 100, а средний балл не сдавших тест учеников был равен 75.

После добавления баллов средний балл сдавших тест учеников стал равен 103, средний балл не сдавших тест учеников стал равен 79. Таким образом, все условия выполнены.

а) Всего в бочках литра воды. Тогда после переливаний в каждой из бочек должно оказаться по 48 литров.

В первой бочке не хватает литров. Перельем из второй бочки в первую 19 литров. Тогда во второй бочке осталось литров. Теперь в ней не хватает литров.

Перельем из третьей бочки во вторую 35 литров. Тогда в третьей бочке осталось литров. Значит, в ней не хватает литра.

Перельем в третью бочку из четвертой 43 литра, тогда в четвертой останется литров.

Значит, после трех переливаний во всех бочках находится по 48 литров воды, то есть можно не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках.

б) Докажем, что не всегда можно уравнять количество воды во всех семи бочках не более чем за пять переливаний.

Если всего в бочках литров воды, но в шести из них меньше литров, то в каждую из этих шести бочек нужно добавить некоторое количество воды, то есть понадобится не меньше шести переливаний. Такая ситуация возможна, если в шести бочках по одному литру воды, а в седьмой — 8 литров.

Тогда после переливаний в каждой из бочек должно быть по литра воды. Значит, в каждую из шести бочек нужно добавить по одному литру воды, то есть сделать хотя бы шесть переливаний.

в) Докажем, что не всегда можно уравнять количество воды во всех 26 бочках не более чем за 24 переливания.

Если всего в бочках литров воды, но в 25 из них меньше литров, то в каждую из этих 25 бочек нужно добавить некоторое количество воды, то есть понадобится не меньше 25 переливаний.

Докажем, что 25 переливаний точно хватит. Пусть во всех бочках литров воды. Если в каждой бочке по литров, то переливать ничего не нужно. Пусть есть бочка, в которой меньше литров воды. Значит, есть бочка, в которой больше литров, иначе общее количество воды меньше литров.

Будем переливать в первую бочку из второй столько воды, чтобы в первой стало ровно литров. Значит, мы потратили одно переливание и увеличили количество бочек, в которых ровно литров воды, на один.

Тогда после 25 таких переливаний количество бочек, в которых находится ровно литров воды, не меньше 25. Значит, в оставшейся 26-ой бочке тоже литров воды.