.00 №19 из ЕГЭ 2018

Число делится на 72 тогда и только тогда, когда оно делится и на 8, и на 9.

Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, составленное из трёх последних цифр числа делится на 8.

Признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9.

а) Мы хотим добиться, чтобы после вычеркивания нескольких цифр из числа 123456789 получилось число, делящееся на 72, то есть делящееся и на 8, и на 9. Воспользуемся признаком делимости на 8.

Сейчас три последние цифры образуют число 789. Оно нечётно, поэтому не может делиться на 8. Значит, нам в любом случае придется вычеркнуть последнюю цифру 9. После этого последние три цифры будут образовывать число которое не делится на 8.

Значит, придется вычеркнуть одну из цифр 6, 7 или 8. Если мы вычеркнем 8, то число станет нечетным. Тогда попробуем вычеркнуть 7. После этого последние три цифры будут образовывать число которое делится на 8.

У нас осталось число 1234568, оно не делится на 9, так как сумма его цифр 29 не делится на 9. Значит, нам нужно вычеркнуть из этого числа цифры так, чтобы сумма оставшихся была кратна 9, а последние три цифры остались нетронутыми. Так можно сделать, если вычеркнуть цифру 2. Тогда мы получим число

Рассуждения выше не нужно писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

б) Аналогично предыдущим рассуждениям, чтобы после вычёркивания нескольких цифр число 846927531 делилось на 72, оно должно оканчиваться на чётную цифру. Тогда мы обязаны вычеркнуть цифры 7531.

Итак, у нас осталось число 84692, сумма его цифр равна 29. После вычёркивания нескольких цифр оно должно начать делиться на 9, то есть сумма оставшихся цифр должна равняться либо 9, либо 18, либо 27. Рассмотрим три этих варианта:

• Если сумма оставшихся цифр равна 9, то, так как 9 — это единственная нечётная цифра в числе 84692, осталась именно она, то есть вычеркнули цифры 8, 4, 6 и 2. Очевидно, что 9 не делится на 72.
• Если сумма оставшихся цифр равна 18, то мы вычеркнули цифры, сумма которых равна 11. Так как 9 — это единственная нечётная цифра в числе 84692, 11 мы могли получить только как сумму 9 и 2. Тогда осталось число 846. Оно не делится на 8, значит, не делится и на 72.
• Если сумма оставшихся цифр равна 27, то могли вычеркнуть только цифру 2. Тогда осталось число 8469. Оно нечётно, значит, не делится на 72.

Значит, из числа 846927531 нельзя вычеркнуть несколько цифр так, чтобы получилось число, кратное 72.

в) Всего в числе 124875963 девять различных цифр, ни одна из которых не равна 0. После вычёркивания нескольких из них должно остаться число, которое делится на 72. Это значит, что должно остаться хотя бы 2 цифры.

При этом если осталось ровно две цифры, то они обязаны образовывать число 72, то есть после вычёркивания должны остаться цифры 2 и 7. Однако в таком случае они будут образовывать число 27, значит, невычеркнутыми должны остаться хотя бы три цифры.

Рассмотрим все кратные 72 трехзначные числа, все цифры которых различны и ни одна из них не равна 0. Таких чисел всего 6:

Ни одно из них нельзя получить вычёркиванием цифр из числа 124875963, в этом легко убедиться, проверив, в каком порядке цифры перечисленных трехзначных чисел входят в исходное число 124875963. Значит, остались невычеркнутыми хотя бы четыре цифры, то есть можно вычеркнуть максимум 5 цифр.

Построим пример на 5 вычеркнутых цифр. Чтобы число делилось 72, его последняя цифра должна быть чётной, тогда нужно вычеркнуть 3. Затем вычеркнем цифры 5 и 7, полученное число 124896 по признаку делится на 8 (896 делится на 8). Сумма его цифр равна 30. Вычеркнем цифры 1 и 2, полученное число 4896 по признаку делится на 9 (сумма его цифр 27).

Тогда из числа 124875963 можно вычеркнуть 5 цифр 1, 2, 3, 5, 7 и получить число

Выше было доказано, что большее количество цифр вычеркнуть нельзя.