.00 №19 из ЕГЭ 2017

а) Несложно проверить, что если задуманы пять чисел, равных 2, то на доске будут записаны все четные числа от 2 до 10.

б) Допустим, что пример существует и задуманы были чисел (сразу отсортируем их в порядке неубывания). Тогда наибольшее число набора равно сумме всех задуманных чисел, так как они натуральные. Также можем утверждать, что ведь иначе число 1 никак не могло оказаться в написанном наборе.

Посмотрим теперь на второе по величине число в наборе — число 20. Мы понимаем, что оно равно второй по величине среди всех различных сумм задуманных чисел, следовательно, оно равно сумме каких-то из задуманных чисел, причем наибольшей из таких сумм. Таким образом, сумма наибольших из задуманных чисел равна

Выше мы выяснили, что тогда

Однако числа 21 нет среди написанных на доске. Получили противоречие, значит, такого примера не существует.

в) Каждое число набора — это либо задуманное число, либо сумма каких-то задуманных чисел, меньших чем (то есть идущих левее в ряду, ведь они выписаны по возрастанию). Будем восстанавливать задуманные числа, начиная с наименьших, то есть слева направо.

Число 7 — наименьшее в наборе, значит, оно точно было задумано, причем ровно один раз, так как числа 14 в наборе нет.

Число 8 также точно было задумано, так как оно не представимо в виде суммы меньших задуманных. Возможно, оно было задумано не один раз.

Число 10 также точно было задумано, так как оно не представимо в виде суммы меньших задуманных. Оно было задумано ровно один раз, так как числа 20 нет в наборе.

Число 15 не могло быть задумано, так как а числа 40 нет в наборе. Значит, оно точно было получено в виде суммы

Число 16 могло быть как задумано, так и получено в виде суммы двух числе 8 (помним, что количество чисел 8 среди задуманных пока неизвестно). Рассмотрим оба этих случая.

• Число 16 было задумано, то есть мы точно знаем, что числа 7, 8, 10, 16 были задуманы. Их сумма равна максимальному числу набора следовательно, в этом случае больше никаких чисел задумано быть не могло. Выпишем все возможные суммы для этих четырех чисел и проверим, что все эти числа содержатся в наборе, а никакие другие не содержатся (важно проверить, что мы не получим никаких лишних чисел!).

  

  Видим, что такие задуманные числа нам подойдут.

• Число 16 было получено в виде суммы, то есть мы точно знаем, что числа 7, 8, 8, 10 были задуманы. Их сумма равна что меньше 41. Значит, должно быть еще хотя бы одно задуманное число, причем это число должно быть не больше иначе сумма всех задуманных превысит максимальное число в наборе.

  Получаем, что единственный возможный вариант, когда были задуманы числа 7, 8, 8, 8, 10. Проверка соответствия сумм числам набора будет полностью аналогична приведенной в случае выше, так как число 16 представимо как Такие задуманные числа тоже подойдут.

Получили, что возможны только два случая: 7, 8, 10, 16 и 7, 8, 8, 8, 10.