№19 из ЕГЭ 2017

а) Заметим, что среди красных чисел также могут встречаться числа, кратные 3. Например, число 24 может встретиться в списке два раза: один раз как красное, второй — как зеленое.

Так как и чисел 3, 6, …, 90 — ровно тридцать штук, и они все кратны 3, то уберем из них, например, число 90, а вместо него возьмем число 24 (которое будет красным). Тогда мы получим 29 зеленых чисел: 3, 6, …, 87 и одно красное 24 (кратное 3), причем очевидно, что сумма всех чисел будет строго меньше 1395.

Ответ: да, может.

б) Упорядочим зеленые числа по возрастанию. Тогда наименьшее возможное значение первого числа — это 3, второго — это 6 и так далее. Наименьшее значение последнего, тридцатого числа, это 87. Сумма всех этих чисел равна 1305 — и это наименьшее возможное значение суммы 29-ти зеленых чисел. Следовательно, если сумма всех чисел равна 1066, то красное число должно быть отрицательным, что невозможно.

Ответ: нет, не может.

в) Докажем, что наименьшее возможное количество красных чисел — это 7.

Рассмотрим минимальное значение для суммы всех чисел для всех случаев, когда красных чисел от 2 до 6 (то, что на доске не может быть написано одно красное число, мы рассмотрели в пункте б)). Оформим это в таблице:

 
То есть мы брали самые маленькие зеленые числа и самые маленькие красные числа и общая сумма чисел получалась больше 1066. Следовательно, для любых наборов красных и зеленых чисел, где красных чисел от 2 до 6, общая сумма чисел будет больше, чем 1066.

Итак, мы имеем пример для 6 красных чисел, когда сумма всех чисел (зеленых и красных) равна 1068. Нужно добавить одно красное число и убрать одно зеленое так, чтобы общая сумма чисел стала равна 1066. Для этого нужно убрать одно зеленое число, которое больше добавленного красного числа на 2. Теперь смотрим: если мы добавим красное 56, то нам нужно убрать зеленое 58. Но такого числа среди зеленых нет.

Перебираем дальше: если добавить красное 64, то убрать нужно зеленое 66, которое как раз у нас имеется! Таким образом, мы построили пример, когда на доске написано 7 красных чисел:

а) Упорядочим числа по возрастанию Пусть одно из этих чисел равно 230. Пусть все оставшиеся 99 чисел – это 1, 2, 3, …, 99. Тогда сумма всех ста чисел — наименьшая возможная сумма в случае, когда среди чисел есть 230. Вычислим ее:

Получили противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.

б) Предположим, что на доске нет числа 14. Снова упорядочим числа по возрастанию и рассмотрим числа: 1, 2, …, 13, 15, …, 101. Мы взяли наименьшее возможное значение для первого числа, для второго и т.д. Тогда сумма всех этих чисел — наименьшая возможная сумма среди сумм произвольных ста натуральных чисел. Она равна:

Получили опять же противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.

в) Приведем пример, когда среди чисел есть четыре числа, кратные 14 (это числа 14, 28, 42, 56):

Докажем, что не может быть меньше четырех чисел, кратных 14.

Возьмем набор чисел от 1 до 100. Сумма чисел в данном наборе равна 5050. Это минимально возможная сумма ста различных натуральных чисел. Назовем числа, кратные 14, странными. В данном наборе 7 странных чисел. Будем уменьшать количество странных чисел в нашем наборе, сохраняя минимальность суммы чисел в наборе.

Итак, для того, чтобы сумма чисел была минимальна, мы должны убрать самое большое странное число — это 98. Тогда взамен ему придется добавить другое число (не странное!). Самое маленькое такое число — это 101. После этого мы получим минимальную сумму, равную 5053. Она меньше, чем 5120, поэтому будем продолжать дальше.

Поступая аналогично, уберем странные числа 98, 84, 70. Вместо них добавим 101, 102, 103. Получим при этом минимальную сумму, равную 5104. Сделав данную операцию еще раз, то есть убрав 56 и добавив 104, получим минимальную сумму 5152, что больше, чем 5120. В силу минимальности суммы чисел в нашем наборе получаем противоречие.

а) Если на доске написано поровну чисел, оканчивающихся на 4, и чисел, оканчивающихся на 8, то чисел каждого вида по 15 штук. Следовательно, если сложить все эти числа, то последняя цифра их суммы будет равна последней цифре числа

то есть последняя цифра должна быть равна 0, что противоречит условию.

б) Рассмотрим все идущие подряд 30 натуральных чисел, оканчивающихся на 4, начиная с самого маленького:

Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 10. Следовательно, их сумма равна

Заметим, что это намного больше чем 2786. Также заметим, что это наименьшая возможная сумма 30-ти различных чисел, оканчивающихся на 4. Как нам максимально уменьшить эту сумму, убрав четыре числа, оканчивающихся на 4, и добавив четыре числа, оканчивающихся на 8? Нужно убрать самые большие числа,оканчивающиеся на 4, и добавить самые маленькие, оканчивающиеся на 8. То есть нужно убрать 294, 284, 274, 264 и добавить Но в этом случае сумма всех чисел будет равна

Значит, на 8 не могут оканчиваться ровно 4 числа.

в) Назовем числа, оканчивающиеся на 4, «числа Ч», а оканчивающиеся на 8 – «числа В».

Из пункта б) следует, что для того, чтобы понять, какое наименьшее количество чисел В может быть на доске, нужно убирать самые большие числа Ч и добавлять самые маленькие числа В, чтобы для начала их сумма максимально приблизилась к числу 2786.

Уберем еще 254 и добавим 48. Тогда, аналогично алгоритму в пункте б), нужно уменьшить сумму на 206: Уберем еще числа 244 и 234 и добавим числа 58 и 68, тогда сумма равна Итак, это наименьшая возможная сумма, если на доске написано семь чисел В.

Заметим, что каждый раз, убирая любое число Ч и добавляя любое число В, мы уменьшаем сумму на число Если изначально (когда было 30 чисел Ч) последняя цифра их суммы была равна 0, то после восьми замен (убираем число Ч и добавляем число В) последняя цифра суммы будет как у числа По условию сумма должна быть равна 2786, следовательно, восемь чисел В на доске быть не может.

А вот для девяти чисел В на доске последняя цифра суммы всех чисел будет равна 6.

Докажем, что девять – наименьшее количество чисел В, которое может быть написано на доске.

Сейчас мы имеем семь чисел В: 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68.

и 23 числа Ч: 4, 14, 24, …, 214, 224.

Их сумма равна 2888.

Нам нужно получить сумму 2786, то есть уменьшить имеющуюся у нас сумму на 102. Как говорилось ранее, «каждый раз, убирая любое число Ч и добавляя любое число В, мы уменьшаем сумму на число ». Представим 102 как

Уберем число Ч и добавим число В так, чтобы сумма всех чисел уменьшилась на 46, а потом уберем число Ч и добавим число В так, чтобы сумма уменьшилась на 56.

Пример: убираем 124 и добавляем 78; убираем 144 и добавляем 88.

Таким образом, мы построили пример, когда на доске написано девять чисел В и доказали, что меньше девяти быть не может.

а) Пусть 5 человек писали только первую контрольную и получили за нее по 0 баллов, еще 5 человек писали только вторую контрольную и получили за нее по 0 баллов.

Пусть оставшиеся 18 человек писали обе контрольные, причем каждый получил за обе одинаковое количество баллов.

Составим таблицу:

 

Здесь «» значит, что человек не писал контрольную.

Для того, чтобы среднее арифметическое оценок за первую контрольную или за вторую контрольную было равно 15, нужно, чтобы

То есть надо найти такие 18 чисел, сумма которых равна Возьмем 15 чисел, равных 20, и 3 числа, равных 15:

Составим таблицу:

 

Видим, что среднее арифметическое лучших оценок всех учеников равно:

Замечание.

Мы получили дробь, у которой числитель такой же, как в среднем арифметическом для каждой контрольной, а вот знаменатель уже не 23, а 28.

б) Пусть — сумма максимальных баллов всех студентов. Предположим, что то есть

Заметим, что либо первую, либо вторую контрольную писало не менее 14 человек, так как если каждую контрольную писало менее 14 человек, то всего студентов менее 28. Можно считать, что не менее 14 человек писало первую контрольную.

Пусть — сумма баллов по первой контрольной, — количество человек, писавших эту контрольную. Тогда имеем:

Докажем, что

Действительно, возьмем произвольного студента. Если он писал только первую контрольную, то его балл будет участвовать и в и в Если он писал только вторую контрольную, то его балл будет участвовать в но не будет участвовать в Если он писал обе контрольные, то в будет участвовать его балл за первую контрольную, а в — его наибольший балл, то есть либо этот же балл, либо выше.

Таким образом, во-первых, слагаемых в будет больше, чем в часть из них будет совпадать со слагаемыми из а часть будет больше или равна. Что и требовалось доказать.

в) Пусть — сумма баллов тех, кто писал только первую контрольную, — кто писал только вторую контрольную, — сумма максимальных баллов среди 10-ти, писавших обе, — сумма минимальных баллов среди этих 10-ти. Тогда имеем:

Заметим, что среднее арифметическое всех оценок по всем контрольным также равно 15, только вот количество ВСЕХ оценок уже равно Следовательно,

Тогда имеем:

Заметим, что так как максимальная оценка за контрольную — 20 баллов, то Следовательно, Тогда имеем:

Приведем пример для Из получения оценки следует, что то есть 10 студентов, писавших обе контрольные, получили по 20 баллов за каждую. Тогда имеем:

Если взять то количество студентов, писавших только первую контрольную, равно

Тогда только вторую контрольную тоже должно писать 9 человек.

То есть мы пришли к тому, что нужно показать, что есть такие 9 натуральных чисел от 0 до 20, которые в сумме дают 85. Такой пример существует:

а) Очевидно, что в задуманном наборе должны быть числа 2, 3, 5. Для того, чтобы на доске появилось число 9, в наборе либо должна быть 9, либо еще одна 3.

Рассмотрим набор

Так как на доске должны быть записаны все попарные произведения, то на доске должно быть число Его там нет. Следовательно, этот набор невозможен.

Рассмотрим набор

Проверкой убеждаемся, что он подходит.

б) Очевидно, что в задуманном наборе должны быть числа 3, 5, 7. Для того, чтобы на доске была написана 9, нужно, чтобы в наборе была либо 9, либо еще одна 3.

Рассмотрим последнее написанное на доске число:

Заметим, что последнее записанное на доске число — это всегда произведение всех задуманных чисел.

Следовательно, либо этот набор точно содержит числа 3, 5, 7, 9, либо содержит 3, 3, 3, 5, 7.

Пусть в задуманном наборе как минимум есть числа 3, 3, 3, 5, 7. Тогда на доске должно быть записано число которого там нет. Следовательно, набор с такими числами точно не может быть задуман.

Пусть в задуманном наборе как минимум есть числа 3, 5, 7, 9. Проверим, подходит ли он. Тогда на доске, например, должно быть число А его там нет. Следовательно, набор не подходит.

в) Как уже говорилось в пункте б), наибольшее число на доске — это произведение всех задуманных чисел. Следовательно, — произведение всех чисел.

Таким образом, у нас возможны два следующих набора:

Если бы в наборе было какое-то число, отличное от 1, 2, 41 и 82, то оно было бы делителем 82. Но мы уже выяснили, что у 82 делители только 1, 2, 41, 82.

Обозначим сумму всех чисел последовательности через

а) Из условия задачи получаем:

Возьмем, например, Тогда Чтобы сумма была равна 10, возьмем Несложно видеть, что такой набор удовлетворяет условию.

б) Как и в пункте а), имеем условие на третье число даст:

Тогда разность первого и третьего членов последовательности равна

Такое невозможно, так как и по условию являются цифрами.

в) По условию имеем:

Так как и — цифры, то модуль разности не должен превышать 9:

Построим пример для Тогда третий член последовательности равен

Возьмем Тогда Чтобы сумма была равна 14, возьмем Несложно видеть, что такой набор удовлетворяет условию.

а) Минимальная возможная сумма у Васи равна 6, так как наименьшее число в любом из шести столбцов равно хотя бы 1. Тогда попробуем построить пример для суммы Васи, равной 6. Для удобства сразу впишем в нижнюю строчку шесть чисел 1. Тогда какие бы числа мы не вписали в оставшиеся клетки таблицы, сумма у Васи будет равна 6.

Теперь нам нужно вписать числа в таблицу так, чтобы сумма у Пети равнялась Представим 12 в виде суммы шести чисел, одно из которых равно 1:

Тогда в каждую из оставшихся строк будем вписывать одинаковые числа и построим следующий пример:

Получаем, что сумма у Пети равна 12, а у Васи равна 6.

б) Максимальная сумма, которая может получиться у Пети, равна

Заметим, что она может получиться только тогда, когда наименьшее число в каждой строке равно 6. Это значит, что все числа в таблице будут равны 6, так как в таблице не могут стоять числа, большие 6.

Минимальная сумма, которая может получиться у Васи, равна

Заметим, что она может получиться только тогда, когда в каждом столбце будет стоять хотя бы одна 1.

В допустимом диапазоне сумм существует единственная пара чисел, которые отличаются в 6 раз: это 6 и 36. Действительно, любое число, большее 6, при умножении на 6 попадет вне диапазона, значит, 6 — это единственное число, которое может выступать в качестве меньшего в паре.

Выше уже показано, что ситуации, дающие 6 и 36, не могут выполняться одновременно, так как если сумма у Васи равна 6, то в таблице присутствует число 1, а если сумма у Пети равна 36, то все числа в таблице равны 6. Следовательно, сумма у Пети не может быть в 6 раз больше суммы у Васи.

в) Пусть наименьшее число в таблице равно Тогда сумма у Васи не меньше чем

Рассмотрим сумму Пети: одно из слагаемых обязательно равно остальные не превышают 6. Следовательно, сумма у Пети не превышает

Тогда отношение суммы Пети к сумме Васи не больше чем

Построим пример для отношения, равного

а) Несложно проверить, что если задуманы пять чисел, равных 2, то на доске будут записаны все четные числа от 2 до 10.

б) Допустим, что пример существует и задуманы были чисел (сразу отсортируем их в порядке неубывания). Тогда наибольшее число набора равно сумме всех задуманных чисел, так как они натуральные. Также можем утверждать, что ведь иначе число 1 никак не могло оказаться в написанном наборе.

Посмотрим теперь на второе по величине число в наборе — число 20. Мы понимаем, что оно равно второй по величине среди всех различных сумм задуманных чисел, следовательно, оно равно сумме каких-то из задуманных чисел, причем наибольшей из таких сумм. Таким образом, сумма наибольших из задуманных чисел равна

Выше мы выяснили, что тогда

Однако числа 21 нет среди написанных на доске. Получили противоречие, значит, такого примера не существует.

в) Каждое число набора — это либо задуманное число, либо сумма каких-то задуманных чисел, меньших чем (то есть идущих левее в ряду, ведь они выписаны по возрастанию). Будем восстанавливать задуманные числа, начиная с наименьших, то есть слева направо.

Число 7 — наименьшее в наборе, значит, оно точно было задумано, причем ровно один раз, так как числа 14 в наборе нет.

Число 8 также точно было задумано, так как оно не представимо в виде суммы меньших задуманных. Возможно, оно было задумано не один раз.

Число 10 также точно было задумано, так как оно не представимо в виде суммы меньших задуманных. Оно было задумано ровно один раз, так как числа 20 нет в наборе.

Число 15 не могло быть задумано, так как а числа 40 нет в наборе. Значит, оно точно было получено в виде суммы

Число 16 могло быть как задумано, так и получено в виде суммы двух числе 8 (помним, что количество чисел 8 среди задуманных пока неизвестно). Рассмотрим оба этих случая.

• Число 16 было задумано, то есть мы точно знаем, что числа 7, 8, 10, 16 были задуманы. Их сумма равна максимальному числу набора следовательно, в этом случае больше никаких чисел задумано быть не могло. Выпишем все возможные суммы для этих четырех чисел и проверим, что все эти числа содержатся в наборе, а никакие другие не содержатся (важно проверить, что мы не получим никаких лишних чисел!).

  

  Видим, что такие задуманные числа нам подойдут.

• Число 16 было получено в виде суммы, то есть мы точно знаем, что числа 7, 8, 8, 10 были задуманы. Их сумма равна что меньше 41. Значит, должно быть еще хотя бы одно задуманное число, причем это число должно быть не больше иначе сумма всех задуманных превысит максимальное число в наборе.

  Получаем, что единственный возможный вариант, когда были задуманы числа 7, 8, 8, 8, 10. Проверка соответствия сумм числам набора будет полностью аналогична приведенной в случае выше, так как число 16 представимо как Такие задуманные числа тоже подойдут.

Получили, что возможны только два случая: 7, 8, 10, 16 и 7, 8, 8, 8, 10.

На каждом шаге Саша вычисляет среднее арифметическое двух натуральных чисел, то есть их сумму, деленную на 2. Обозначим исходные числа через тогда имеем:

а) Нам нужно проверить, существуют ли такие различные натуральные числа для которых выполняется

Домножим обе части на и преобразуем:

Достаточно выбрать различные натуральные числа такие, чтобы числитель дроби в правой части был натуральным и кратным 4 и значение дроби было отличным от Например, возьмем Тогда имеем:

Таким образом, подходит набор исходных чисел

б) Теперь нам нужно проверить, существуют ли такие различные натуральные числа для которых выполняется

Очевидно, что для любых натуральных чисел правая часть больше, чем левая, и такое равенство выполняться не может.

в) Выясним, для какого наибольшего целого числа при некоторых различных натуральных может выполняться равенство

Перенесем все в правую часть, получим, что равенство выше равносильно

Очевидно, что для любого целого все скобки в правой части будут строго положительны и сама правая часть целиком также будет строго положительна. Таким образом, мы доказали, что

Попробуем построить пример для Нам нужно подобрать такие различные натуральные для которых выполняется

Домножим обе части на и преобразуем:

Достаточно выбрать различные натуральные числа такие, чтобы числитель дроби в правой части был кратным 8 и значение дроби было отличным от Например, возьмем Тогда имеем:

Таким образом, подходит набор исходных чисел

а) Пусть 28 студентов писали обе контрольные и получили по 15 баллов за каждую, по 2 студента писали только одну из двух контрольных работ и получили по 0 баллов за каждую. Тогда средний балл по каждой из контрольных работ в отдельности составил 14, так как

При этом среднее арифметическое всех названных баллов равно

б) Пусть — сумма баллов всех студентов, которые писали только одну контрольную работу, — сумма наибольших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы, — сумма наименьших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы.

Так как средние баллы по каждой контрольной в отдельности равны 14, то средний балл по обеим контрольным работам тоже равен 14. Всего было написано 34 контрольные работы, значит, общее количество набранных студентами баллов равно

Тогда имеем уравнения на

Так как сумма наименьших баллов двух студентов не может превосходить 40, то ситуация выше невозможна.

в) Пусть — число студентов, которые писали обе контрольные работы. Тогда имеем:

С другой стороны,

Приведем пример, когда

Пусть 16 студентов писали обе контрольные работы и получили по 20 баллов за каждую, пусть по 8 студентов писали одну из двух контрольных работ и получили по 2 балла за каждую.

Тогда сумма наибольших баллов равна и среднее арифметическое равно 11.

а) Предположим, что может быть написано 5 чисел. Расположим их в порядке возрастания:

Тогда произведение двух наименьших

Пусть тогда Произведение двух наибольших

Пусть Следовательно, осталось подобрать еще одно число причем оно должно быть больше 7, но меньше 9. Возьмем, например, 8. Таким образом, мы получили 5 чисел:

б) Предположим, что может быть написано 6 чисел. Расположим их в порядке возрастания:

Тогда произведение двух наибольших Отсюда можно сделать вывод, что Это так, поскольку если то и их произведение

Произведение двух наименьших следовательно, Это так, поскольку если то следовательно, их произведение

Таким образом, на отрезке должны быть расположены четыре натуральных числа

Это невозможно, так как на этом отрезке только три натуральных числа.

в) Пусть на доске написаны 4 числа, расположим их также в порядке возрастания:

Аналогично предыдущему пункту можно сделать вывод, что

Следовательно, и могут принимать значения 7, 8 или 9.

Пусть Тогда может быть равно только 6, потому что иначе произведение будет меньше 40. Максимальное значение для — это 12.

Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел равна

Пусть Аналогично Максимальное значение для — это 11.

Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел равна

Пусть Тогда максимальное значение для — это 7. Максимальное значение для — это 11.

Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел равна

Так как мы рассмотрели все возможные случаи, то максимальная сумма чисел равна 35.

а) Пусть такие числа существуют. Упорядочим их в порядке возрастания:

Приведем пример. Пусть Тогда Следовательно, можно взять

Значит, на доске могут быть написаны числа

Они отличаются не более чем в 3 раза.

б) Пусть такие числа существуют. Упорядочим их в порядке возрастания:

Тогда по условию где Предположим, что сумма этих чисел равна 94. Тогда

Так как все числа натуральные и различные, то при наибольшее возможное значение равно 12. Но тогда между и не умещается восемь различных натуральных чисел.

При наименьшая сумма достигается, если числа равны

Тогда сумма равна

Заметим, что при увеличении будет увеличиваться и значение наименьшей возможной суммы, следовательно, десять таких чисел не существует.

в) Заметим, что Следовательно, любое число, записанное на доске, имеет вид где — целые.

Начнем пробовать привести пример для двух чисел. Такой пример удается привести:

Приведя пример для двух чисел, пробуем привести пример для трех чисел:

Попробовав привести пример для четырех чисел и безуспешно потратив на это не более 10 минут, задумываемся над тем, что, вполне возможно, примера для четырех чисел не существует.

Докажем, что на доске не может быть написано четыре числа и более.

Пусть на доске при написано чисел:

Рассмотрим два случая.

1) Пусть какое-то содержит в разложении на простые множители как минимум две пятерки, то есть делится на 25: где Тогда все оставшиеся числа, которых не менее трех, не меньше чем то есть не меньше 9.

Тогда произведение всех чисел не меньше чем

Получили противоречие, следовательно, среди написанных на доске чисел не может быть числа, кратного 25.

2) Пусть нет числа, в разложении которого на простые множители есть две пятерки, то есть все числа в разложении имеют максимум одну пятерку.

Рассмотрим три числа имеющие в разложении одну пятерку:

Здесь — степени двойки. Тогда и , следовательно, Это невозможно, поскольку тогда более чем в три раза больше Значит, на доске не может быть написано четыре числа и более.

а) Так как то первая цифра искомого числа 1, вторая цифра Так как то третья цифра — это 8:

Аналогично четвертая, последняя, цифра числа — это 9. Таким образом, подходит число 1689.

б) Предположим, что такое число существует. Начнем так же, как в пункте а), определять цифры этого числа слева направо. Очевидно, что первые две цифры — это и то есть число

Третья цифра не может быть 1, так как и Также она не может быть равна 0, 9 или 0, так как в этом случае сумма двух цифр уже должна быть равна трех-, четырех- или пятизначному числу. Следовательно, подходящего числа не существует.

в) Пусть дано трехзначное число Тогда из него получится число

Заметим, что при и данное число будет семизначным, а во всех остальных случаях — шести- или пятизначным. Таким образом, так как мы ищем наибольшее возможное число, то найдем его среди семизначных чисел.

Пусть с учетом имеют место равенства

Тогда число имеет вид

По признаку делимости число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на нечетных местах, минус сумма цифр, стоящих на четных местах, кратна 11. То есть

Так как то имеем:

Отсюда получаем

Для того, чтобы число было наибольшим, его первая цифра должна быть наибольшей. Следовательно, если то чтобы было выполнено Заметим, что может быть любым. Следовательно, возьмем максимальное

Таким образом, наибольшее число получится из числа 979 и равно

а) Так как то первая цифра искомого числа 4, вторая 7: 47…

Так как то третья цифра — это 1: 471…Аналогично четвертая, последняя, цифра числа – это 9.

Таким образом, это число 4719.

б) Предположим, что такое число существует. Начнем так же, как в пункте а), определять цифры этого числа слева направо. Очевидно, что первые две цифры — это 2 и 8, то есть число 28…

Третья цифра не может быть 1, так как также третья цифра не может быть 4, так как Также она не может быть равна 9 или 5, так как в этом случае сумма двух цифр уже должна быть равна трех- или четырехзначному числу. Следовательно, ответ: нет.

в) Пусть дано трехзначное число Тогда из него получится число

Заметим, что при и данное число будет семизначным, а во всех остальных случаях — шести- или пятизначным. Таким образом, так как мы ищем наибольшее возможное число, то найдем его среди семизначных чисел.

Пусть где (так как ).

Тогда число имеет вид:

По признаку делимости число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна 9. То есть:

Так как получаем:

Для того, чтобы число было наибольшим, его первая цифра должна быть наибольшей. Следовательно, если возьмем наибольшее возможное тогда можно взять наибольшее возможное Следовательно, для того, чтобы нужно взять

Таким образом, наибольшее число получится из числа 887 и равно