.00 №19 из ЕГЭ 2016
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход из чисел 
и 
можно получить числа 
и 
или числа 
и 
Например, из чисел 2 и 3 можно получить числа 5 и 3 или числа 5 и 5.
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел на доске окажется равным 19.
б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел на доске оказаться равным 200?
в) Сделали 1007 ходов, причем на доске не было равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из двух полученных чисел?
Источники:
Введем обозначения. Операцию, в которой из чисел 
и 
получили числа 
и 
назовем первой и будем обозначать
ее
Операцию, в которой из чисел 
и 
получили числа 
и 
назовем второй и будем обозначать
ее
а) Есть несколько примеров:
б) После первого хода получаем
Значит, минимальное число, которое может оказаться на доске после первого хода, не меньше 3.
Тогда заметим, что после следующей операции каждое из чисел увеличится хотя бы на 2. Это так, потому что первое число, которое получается сложением двух предыдущих, увеличится хотя бы на 3, а второе число, которое получается прибавлением одного из чисел, уменьшенного на 1, к нему же, увеличится хотя бы на 2.
Значит, после второй операции оба числа на доске увеличились хотя бы на 2. Заметим, что минимальное число на доске снова не меньше 3.
Тогда для полученных чисел можем снова провести наше предыдущее рассуждение и получить, что после третьей операции числа на доске увеличились хотя бы на 2, а минимальное число на доске не меньше 3.
Значит, после 100-й операции числа на доске увеличатся хотя бы на 
по сравнению с результатом первой
операции. Но мы знаем, что после первой операции числа, записанные на доске, не меньше 3. Тогда после сотой операции числа
на доске не меньше чем 
Значит, после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, не может оказаться
числом 200.
в) Изначально на доске написаны числа 2 и 3. При этом 2 — четное число, а 3 — нечетное. Тогда после первого хода получим
два нечетных числа, так как сумма четного и нечетного чисел нечетна, а число вида 
нечетно при любом 
После
второго хода из двух нечетных чисел получим одно четное число — сумму нечетных и одно нечетное вида 
Значит,
вернулись к ситуации, которая была вначале.
Тогда после хода с нечетным номером на доске будут записаны два нечетных числа. По условию они не должны быть равны, значит, разница между ними хотя бы 2. Приведем пример на такую разность.
Изначально разность между числами равна 1. Обобщим ситуацию, пусть на доске изначально записаны числа 
и 
.
Будем повторять первую операцию, тогда получим
После двух применений первой операции из чисел 
можем получить числа 
Тогда за 1006 ходов из
чисел 
получим числа
После 1007-го хода получим
Разность этих чисел равна 2. Если положим 
то получим искомый пример.
а) 
б) Нет, не может
в) 2
| Содержание критерия | Балл |
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в пункте а); — обоснованное решение в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
