№19 из ЕГЭ 2016

а) Рассмотрим последовательность из одинаковых чисел, сумма которых равна 60:

Изменим её так, чтобы выполнялось условие задачи. Это можно сделать, например, забрав по 2 у крайних членов (всего отняли 4) и прибавив к среднему члену 2, а к оставшимся по 1:

б) Решение пункта а) подходит в данном случае.

в) Пусть выполнено условие

Тогда, прибавив к обеим частям по 1, получим

Отняв от обеих частей по 1, получим

Изменим условие задачи, разрешив быть равными 0.

Решение исходной задачи получается из решения изменённой. В самом деле, если в изменённой задаче минимум суммы достигается на последовательности , то минимум суммы в исходной задаче достигается на последовательности Если бы это было не так и была последовательность подходящая по исходному условию, но с суммой членов, меньшей, чем у то последовательность подходила бы по изменённому условию, но сумма её членов была меньше, чем у

Ясно, что для того, чтобы каждое из было больше среднего арифметического соседей, необходимо, чтобы рядом с каждым из них нашёлся меньший сосед.

Отсюда следует, что среди нет равных 0.

Пусть на последовательности достигается минимум суммы.

Покажем, что Если бы это было не так, то можно было бы положить их равными 0 и получить последовательность, подходящую по новому условию, но с меньшей суммой — противоречие.

Так как среди нет равных 0, то среди нет равных 1, иначе у 1 не будет меньшего соседа. При этом если то должно быть меньше 2, но среди нет 0 и 1, то есть такого быть не может. Для аналогично.

Итого: среди нет и равных 1.

Так как среди нет равных 1, то среди нет равных 2, иначе у 2 не будет меньшего соседа. При этом если то должно быть не больше 3 и не может быть 0, 1 или 2. Тогда значит, не может быть 4 или больше. Следовательно, но тогда чего быть не может. Для аналогично.

Итого: среди нет и равных 2.

Так как среди нет равных 2, то среди нет равных 3, иначе у 3 не будет меньшего соседа.

Среди не может быть и 4: иначе меньший сосед мог бы быть только у и Пусть тогда то есть значит, чего быть не может. Для аналогично.

Среди не может быть больше двух пятёрок, иначе среди и была хотя бы одна пятёрка, но у неё соседом должно было быть число, меньшее 5, чего быть не может.

Итак, искомая последовательность

Сумма её членов равна 28.

Тогда последовательность с наименьшей суммой среди подходящих под изначальное условие:

Сумма её членов равна 36.

а) В качестве ответа подходит следующая последовательность ходов:
0) ,
1) ,
2) ,
3) .

б) Грубо говоря, начиная с некоторого момента после каждого хода минимальное из чисел на доске вырастает примерно в раза по сравнению с минимальным числом до этого хода. Тогда после ходов минимальное значение должно в некотором смысле не слишком сильно отличаться от , что намного больше, чем . Данное рассуждение не является строгим, но именно его формальный аналог и приведёт нас к строгому решению.

 

Итак, изложим аналогичное решение формально. Пусть в какой-то момент каждое из чисел и , записанных на доске, не меньше , тогда

Таким образом, в любом случае после следующего хода оба числа на доске будут больше, чем минимальное из и (и опять будут не меньше ).

Покажем, что спустя хода минимальное из чисел на доске обязательно будет не меньше . После первого хода мы получим либо , либо . Тогда после второго хода мы можем получить только одну из пар

То есть в результате второго хода каждое из чисел на доске так или иначе не меньше , следовательно, и далее оба числа на доске будут не меньше .

Получается, что после второго хода минимальное из чисел на доске не меньше , а с каждым ходом после второго минимальное из чисел на доске вырастает более чем в раза по сравнению с минимальным числом до этого хода. Тогда после ходов минимальное из чисел на доске будет больше, чем , следовательно, после ходов ни одно из двух чисел на доске не может быть равно .

в) По условию эта разность не может быть равна . При этом оба числа на доске – натуральные, следовательно, разность большего и меньшего из них не меньше .

Рассмотрим повнимательнее преобразование, которое мы делаем с числами за один ход. Если до этого хода ровно одно из чисел было чётным, то после этого хода обязательно оба числа будут нечётными. Если же до этого хода оба числа были нечётными, то после этого хода ровно одно из чисел будет нечётным.

Тогда после одного хода, начиная с , на доске оба числа будут нечётными, как и после трёх ходов и вообще после любого нечётного количества ходов. Так как – нечётное, то через ходов оба числа на доске будут нечётными, следовательно, разность между большим и меньшим из них не может быть равна .

В итоге, мы доказали, что разность между большим и меньшим из чисел на доске после ходов не меньше .

Пусть в какой-то момент на доске оказались числа, разность между большим и меньшим из которых равна . Пусть это числа и , тогда следующим ходом можно получить числа и (разность между которыми равна ).

Пусть в какой-то момент на доске оказались числа, разность между большим и меньшим из которых равна . Пусть это числа и , тогда следующим ходом можно получить числа и (разность между которыми равна ).

Так как в начальный момент на доске написаны числа, разность между которыми равна , то можно последовательно выполнять ходы, такие что разность между числами на доске будет чередоваться: то она равна , то равна . Следовательно, через ходов разность чисел на доске действительно может быть равна .

а) Приведем один из возможных вариантов:

б) Сделать 10 ходов — значит стереть все числа на доске. Покажем, что все числа стереть нельзя.

Если число 30 будет стёрто, то обязательно в одной тройке с числом 1 и одним из чисел 2 или 3. Тогда если будет стёрто и число 29, то обязательно в одной тройке с оставшимся после первого хода числом 2 или 3.

Но третьим числом в тройке должно быть число не меньше 4, а это значит, что сумма чисел в тройке с числом 29 слишком велика:

Это противоречит условию.

в) Пусть можно стереть троек, тогда сумма всех чисел этих троек должна не превосходить

Так как нужно стереть чисел, то наименьшая возможная сумма всех чисел троек равна

Тогда получаем неравенство

Последнее равносильно откуда с учётом получаем Тогда стереть больше 6 троек нельзя. Пример для 6 троек:

а) Данное множество состоит из 100 подряд идущих натуральных чисел, тогда его можно разбить на 50 пар с одинаковыми суммами:

Так как количество таких пар 50, то можно составить первое подмножество из всех элементов любых 25 из этих пар, а второе подмножество составить из всех остальных чисел.

б) Данное множество не является хорошим, так как больше суммы всех остальных его элементов. Это следует из формулы

Покажем по индукции, что эта формула верна.

1) При имеем: Это верное равенство.

2) Пусть теперь формула верна для покажем, что тогда она верна и для

По предположению индукции сумма всех слагаемых без последнего равна тогда вся сумма равна

Что и требовалось.

Тогда можем оценить сумму

в) Для элементов хорошего четырёхэлементного подмножества должно выполняться равенство одного из двух видов:

Равенство может быть выполнено только в случае так как сумма любых трёх других элементов больше любого элемента данного множества.

Рассмотрим теперь случай равенства вида

В данном множестве всего два нечётных элемента. Для хорошего четырёхэлементного подмножества понятно, что они либо оба содержатся в нём, либо оба не содержатся в нём.

Рассмотрим подходящие четырёхэлементные подмножества, содержащие числа 3 и 5. Так как что меньше суммы любых двух других элементов исходного множества, то в требуемом равенстве вида они должны стоять по разные стороны от знака равенства:

Тогда на роль пары чисел подходят пары

Всего таких пар 4, следовательно, в случае равенства вида есть ровно 4 хороших подмножества из 4 элементов, содержащих числа 3 и 5.

Остаётся рассмотреть подходящие четырёхэлементные подмножества, не содержащие чисел 3 и 5. Они, таким образом, являются подмножествами множества

В этом множестве всего 5 элементов, то есть искомое подмножество должно содержать все его элементы, кроме одного. Кроме того, ясно, что так как в множестве все элементы чётные, то в равенстве вида слева и справа должны стоять чётные числа. Тогда сумма всех четырёх чисел должна делиться на 4.

Следовательно, нельзя удалять из множества числа 6 или 10. Остаётся убедиться, что при удалении из него чисел 4, 8 или 12 будут получаться хорошие подмножества. Это видно из равенств

Таким образом, есть ровно 3 хороших подмножества исходного множества, не содержащие чисел 3 и 5.

Итого у исходного множества есть ровно хороших четырёхэлементных подмножеств.

а) Покажем, что подходит: произведение цифр равно тогда отношение к произведению его цифр равно

б) Числа 113 и 18 взаимно просты, тогда для того, чтобы отношение к произведению его цифр было равно необходимо, чтобы делилось на 113.

Таким образом, если какое-то подходит, то оно имеет вид , где так как — уже не трёхзначное.

Перебором убеждаемся, что ни одно число из множества не подходит на роль , следовательно, отношение к произведению его цифр не может быть равно

в) Отношение к произведению его цифр при равно Если при каком-то отношение окажется ещё больше, необходимо, чтобы произведение цифр было равно 18.

В самом деле, произведение цифр должно делиться на 18, поскольку отношение к произведению его цифр можно сократить до дроби вида При этом если то даже при сокращении дроби в 2 раза числитель станет В предложенном выше примере в числителе находится что даёт большее отношение, чем любое допустимое отношение, для которого произведение цифр не равно 18.

Пусть произведение цифр равно Тогда наибольшее значение, которое может принимать число сотен в , равно . Поскольку произведение цифр равно 18, в качестве двух других цифр возьмем 2 и 1. При этом всякое трёхзначное число, записанное полученными цифрами, делится на 3 и дробь оказывается сократимой.

Наибольшее значение, которое может принимать отличное от 9 число сотен в равно Тогда в качестве двух других цифр возьмем 3 и 1. Наибольшее такое и есть 631.

а) Пусть — общее количество партий, а — количество побед. Показатель «побед» будет равняться 17, если — отношение количества побед к общему количеству партий — будет меньше 0,175, но хотя бы 0,165. Тогда можем получить следующее неравенство:

Будем перебирать возможные значения Начнем с наибольшего. Пусть тогда

Полученное неравенство не имеет решений в натуральных числах. Проверим следующее по величине значение, пусть Тогда

Проверим полученную пару значений. Если побед было 8, а партий 48, то процент побед равен

Значит, число округляется до 17, следовательно, при 8 победах и 48 партиях показатель «побед» равен 17.

б) После выигранной партии показатель «побед» не уменьшается, значит, если показатель «поражений» увеличился, то показатель «ничьих» обязательно уменьшился.

Сконструируем такую ситуацию. Если было сыграно 200 партий, а 50 из них выиграно, то показатель «побед» равен 25. Одна партия сыграна вничью, тогда показатель «ничьих» равен 1, остальные 149 партий проиграны, тогда показатель «поражений» равен

После еще одной победы показатель «побед» остаётся равным 25, показатель «ничьих» становится равным 0, а показатель «поражений» становится соответственно

Значит, показатель «поражений» увеличился после выигранной партии.

в) Пусть было сыграно партий. Если из них были выиграны, а были сыграны вничью, то по условию Оценим сумму показателей «побед» и «ничьих». При подсчете этих показателей происходит округление не более чем на 0,5, поэтому сумма показателей «побед» и «ничьих» будет отличаться от суммы процентов не больше чем на 1. Тогда если — показатель «побед», — показатель «ничьих», то

Заметим, что если то

Тогда

Значит, при показатель «поражений» будет больше 1.

Если то имеем:

Тогда показатели «побед» и «ничьих» будут целые, значит, показатель «поражений» будет равен

Значит, наименьшее количество партий равно 51. Попробуем построить пример на 51 партию, то есть Тогда мы уже знаем, что

Заметим, что если хотя бы один из показателей не будет округлен, то

Значит, чтобы эта сумма действительно могла равняться 99, оба показателя должны округлиться вверх. Тогда можем получить два неравенства на дробные части показателей «побед» и «ничьих»:

Будем перебирать по количеству побед. Получим, что если было выиграно 12 партий, а 38 партий сыграны вничью, то показатель «побед» будет равен 24, а показатель «ничьих» — 75. Одна партия будет проиграна, тогда показатель «проигрышей» равен

Введем обозначения. Операцию, в которой из чисел и получили числа и назовем первой и будем обозначать ее

Операцию, в которой из чисел и получили числа и назовем второй и будем обозначать ее

а) Есть несколько примеров:

б) После первого хода получаем

Значит, минимальное число, которое может оказаться на доске после первого хода, не меньше 3.

Тогда заметим, что после следующей операции каждое из чисел увеличится хотя бы на 2. Это так, потому что первое число, которое получается сложением двух предыдущих, увеличится хотя бы на 3, а второе число, которое получается прибавлением одного из чисел, уменьшенного на 1, к нему же, увеличится хотя бы на 2.

Значит, после второй операции оба числа на доске увеличились хотя бы на 2. Заметим, что минимальное число на доске снова не меньше 3.

Тогда для полученных чисел можем снова провести наше предыдущее рассуждение и получить, что после третьей операции числа на доске увеличились хотя бы на 2, а минимальное число на доске не меньше 3.

Значит, после 100-й операции числа на доске увеличатся хотя бы на по сравнению с результатом первой операции. Но мы знаем, что после первой операции числа, записанные на доске, не меньше 3. Тогда после сотой операции числа на доске не меньше чем Значит, после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, не может оказаться числом 200.

в) Изначально на доске написаны числа 2 и 3. При этом 2 — четное число, а 3 — нечетное. Тогда после первого хода получим два нечетных числа, так как сумма четного и нечетного чисел нечетна, а число вида нечетно при любом После второго хода из двух нечетных чисел получим одно четное число — сумму нечетных и одно нечетное вида Значит, вернулись к ситуации, которая была вначале.

Тогда после хода с нечетным номером на доске будут записаны два нечетных числа. По условию они не должны быть равны, значит, разница между ними хотя бы 2. Приведем пример на такую разность.

Изначально разность между числами равна 1. Обобщим ситуацию, пусть на доске изначально записаны числа и . Будем повторять первую операцию, тогда получим

После двух применений первой операции из чисел можем получить числа Тогда за 1006 ходов из чисел получим числа

После 1007-го хода получим

Разность этих чисел равна 2. Если положим то получим искомый пример.

а) Заметим, что если мы найдем набор последовательных чисел вида то решим задачу. Это так, поскольку произведение данных чисел в два раза меньше произведения чисел в силу отличия этих наборов только числами и

Найдем на отрезке два числа, отличающихся вдвое. Например, это могут быть числа 23 и 46. Тогда если Вася перемножит числа то результат Пети, перемножившего числа будет в два раза больше.

б) Докажем, что чем больше чисел возьмет Вася, тем больше будет отношение результата Пети к результату Васи.

Пусть Вася перемножил чисел из отрезка Тогда пусть его произведение равно а произведение Пети равно Их отношение равно

Пусть Вася перемножил те же чисел и еще одно — число Результат Васи в этом случае равен результат Пети в этом случае равен Тогда их отношение равно

Значит, наибольшее отношение результатов достигается в том случае, когда Вася перемножил все числа. Тогда произведения Пети и Васи отличаются в раза:

Значит, результат Пети не может отличаться от результата Васи в 6 раз.

в) В предыдущем пункте мы доказали, что результат Пети не может отличаться от результата Васи больше чем в раза. Тогда если результаты должны отличаться в целое число раз, наибольшее такое число равно 3.

Найдем два числа из отрезка которые отличаются в 3 раза. Например, это могут быть числа 23 и 69. Тогда произведения наборов чисел и отличаются ровно в раза. Значит, наибольшее целое число раз, в которое могут отличаться результаты Пети и Васи, равно 3.