.00 №19 из ЕГЭ 2020

Для начала заметим, что не могут двое мальчиков передать конфеты мальчикам, так как в этом случае у получивших конфеты мальчиков их будет одинаковое число. Также двое мальчиков не могут передать конфеты девочкам, так как у девочек разное число конфет, а получат они одинаковое, то есть одинаковым это число стать не может. Это значит, что нет трех подряд идущих мальчиков и двух переходов от мальчикам к девочкам. То есть все мальчики и все девочки стоят подряд (иначе появится хотя бы два мальчика, передающие конфеты девочкам), в частности это означает, что мальчиков максимум 2. Учитывая, что мальчиков по условию задачи хотя бы двое, получаем, что мальчиков ровно двое.

а) Пусть мальчиков может быть ровно столько же, сколько девочек. Мальчиков двое, значит, девочек тоже двое, и стоят они по кругу так: ММДД.

Попробуем составить пример. Изначально знаем, что количество конфет у каждого должно делиться на 4. Тогда пусть у мальчиков по 4 конфеты, у первой девочки , у второй девочки . После команды у первого мальчика стало , у второго осталось 4, у первой девочки , а у второй . Знаем, что у девочек стало одинаковое число конфет, тогда составим уравнение:

Теперь нужно так подобрать разные и , чтобы они были целые и кратны 4. Чтобы получилось целым, должно делиться на 3. Следовательно, вида и кратно 4, то есть вида . Если , то — не подходит. Если , то .

Проверим: изначально по кругу были числа 4, 4, 16, 12; стало соответственно 6, 4, 13, 13 — все условия задачи выполнены.

Значит, да, мальчиков может быть ровно столько же, сколько девочек. Тогда у мальчиков по 4 конфеты, у первой девочки справа от мальчиков 16 конфет, у второй 12.

б) Как уже поняли в самом начале — мальчиков ровно два, при этом по условию девочек хотя бы две, значит, мальчиков не может быть больше, чем девочек.

в) По рассуждениям выше можем сделать вывод, что мальчиков два, тогда девочек четыре, а стоять они могут только в таком порядке: ММДДДД.

Пусть изначально у мальчиков по конфет, а у девочек, если пойти направо, конфет. Тогда после команды количество конфет у мальчиков стало равно и , а у девочек в том же порядке — , , и .

Значит, и .

Посчитаем общую сумму конфет :

То есть, если у детей суммарно 328 конфет, то .

Все числа в задаче натуральные, поэтому, чтобы равенство выполнялось, должно делиться на 10. Следовательно, последняя цифра должна быть 6. Для этого нужно рассмотреть все возможные последние цифры — это цифры от 0 до 9, далее их умножить на 7 и посмотреть какие последние цифры могут получиться в результате. После того как перемножили все, понимаем, что единственный вариант, когда последняя цифра получается 6 это , значит, имеет вид . Также нужно не забывать, что все кратны 4, иначе дети не смогут передать соседу четверть своих конфет. Значит, имеет вид .

Теперь нужно проверить чему может быть равен , чтобы все условия задачи были выполнены.

Если , то , но 15 не делится на 4, то есть этот вариант не подходит.

Если , то — пока условие задачи выполняется, поэтому посчитаем , , (выше мы уже научились их выражать через и ). , , .

Проверим: изначально по кругу были числа 112, 112, 4, 40, 28, 32; стало соответственно 92, 112, 31, 31, 31, 31 — все условия задачи выполнены, значит, 328 конфет могло быть.