.00 №19 из ЕГЭ 2020

а) Допустим, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик. Пусть первая девочка набрала грибов, а первый мальчик — грибов, тогда . Также мы знаем, что любые пять мальчиков набрали больше грибов, чем любые три девочки, то есть верно следующее: . Сложим два неравенства и получим: .

Но еще нам известно, что любые две девочки набрали больше грибов, чем любые три мальчика. Значит, можем составить два неравенства: и . Сложим их: . Получили, что неравенство из первого абзаца решения противоречит условию задачи, значит, не могло так случиться, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик.

б) Пусть у всех мальчиков будет грибов (где — номер мальчика, а — что-то очень маленькое относительно ), а у девочек будет (где — номер девочки, а — что-то пренебрежительно маленькое относительно ). Даем столько грибов, потому что получатся как раз верные равенства: и . Первое неравенство верно, так как можно сократить на и слева останется положительное число, а справа отрицательное. Второе неравенство верно, потому что можно сократить на и получим — верно, так как и пренебрежительно мало относительно .

Под рассуждения выше подходит . У мальчиков: 1000, , , ; у девочек: 1500, , , , .

в) Упорядочим количество грибов у мальчиков и у девочек . Из условия можно составить неравенства:

x8 + x9 + x10 < y1 + y2 ⇔ x8 + x9 + x10 + 1 ≤ y1 + y2

Аналогично:

y7 + y6 + y5 + 1 ≤ x1 + x2 + x3 + x4 + x5

Также , так как с обеих сторон неравенства по 6 слагаемых и каждое слева не больше каждого справа. Отсюда получаем:

3 ⋅ (x8 + x9 + x10 + 1) + 2 ≤ 3 ⋅ (y1 + y2) + 2 ≤ 2 ⋅ (y7 + y6 + y5 + 1) ≤ 2 ⋅ (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)

Теперь имеем: .

Также , так как каждое слагаемое слева не больше каждого слагаемого справа.

Сложим два последних неравенства и получим: . Значит у каждого мальчика минимум 5 грибов.

Аналогичным образом хотим получить минимум грибов у каждой девочки.

, так как с обеих сторон неравенства по 15 слагаемых и каждое слева не больше каждого справа. А также . Тогда можем составить цепочку неравенств:

3 ⋅ (y7 + y6 + y5 + 1) + 5 ≤ 3 ⋅ (x1 + x2 + x3 + x4 + x5) + 5 ≤ 5 ⋅ (x8 + x9 + x10 + 1) ≤ 5 ⋅ (y1 + y2)

Теперь имеем: .

Также , так как каждое слагаемое слева не больше каждого слагаемого справа.

Сложим два последних неравенства и получим: . Значит у каждой девочки минимум 8 грибов.

Если у каждой девочки будет по 8 грибов, а у каждого мальчика по 5 (это как раз минимум количества грибов), то условие задачи выполняется, так как и .

Значит, минимальное возможное количество грибов, собранное всеми детьми суммарно .