.00 №19 из ЕГЭ 2020

Заметим, что любое число из первой группы превращается в число число из второй группы превращается в число из третьей группы никак не меняется. Обозначим сумму чисел в первой группе через а их количество через сумму чисел во второй группе через а их количество через сумму чисел в третьей группе через (их количество обозначать необязательно, так как в этой группе ничего не меняется).

а) Изначально сумма всех чисел была далее в первой группе сумма стала во второй группе сумма стала Тогда составим уравнение:

В полученном уравнении можно легко подобрать пример: количество чисел во всех группах пусть будет равным 1 и . Таким образом, в первой группе число 1; во второй группе число 8; в третьей группе число 3.

Сделаем проверку:

Получилось действительно верное равенство.

б) Аналогично рассуждениям из пункта а) составим уравнение:

Заметим, что сумма натуральных чисел всегда не меньше, чем их количество, тогда

Значит, не существует натуральных чисел, удовлетворяющих нужному соотношению.

в) Так как нужно узнать, в какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма, то рассмотрим отношение полученной суммы к изначальной:

Хотим найти максимум полученного выражения. Тогда поймем, в какой группе для этого должны находиться числа. Изначальная сумма чисел фиксирована для выбранного набора чисел. Но если числа из первой и третьей группы переместить во вторую группу, то несложно проверить, что новая полученная сумма увеличится. Значит, для максимизации отношения нужно в первой и третьей группах оставить по одному числу и получится Тогда отношение примет вид

Теперь для максимизации нужно, чтобы и знаменатель должен иметь минимальное значение для фиксированного набора из чисел во второй группе и чисел в первой группе, то есть минимум это так как Тогда получим

Тогда осталось найти максимум выражения

Чтобы найти точку максимума, нужно посчитать производную:

Теперь нужно найти нули функции, в данном случае понять, когда числитель равен нулю:

Нас интересуют только положительные значения то есть точка максимума функции будет в точке так как в ней происходит переход от положительных значений производной к отрицательным. Также принимает только натуральные значения, значит, максимальное значение функции будет либо в точке либо в точке

• 
• 

Значит, максимум отношения равен 11,6 при Осталось показать, что такая ситуация точно возможна, то есть показать пример.

Пример будем составлять на основании наших рассуждений, то есть

Получаем начальные числа 1, 2, 3, 4 и 5, которые превратятся в числа 1, 26, 39, 49 и 59. Проверим отношение полученных сумм:

Значит, сумма могла увеличиться максимум в 11,6 раз.