.00 №19 из ЕГЭ 2021

Рассмотрим три подряд идущих числа последовательности. Пусть это числа и

По условию имеем

Значит, последовательность из разностей -го и -го чисел является строго убывающей последовательностью. То есть где Пусть — сумма последовательности разностей.

Заметим, что

По условию поэтому

а) Пусть второй член может быть отрицательным. Тогда первый член последовательности разностей равен

Так как последовательность разностей строго убывает, все её члены отрицательны. Значит, сумма всех ее членов тоже отрицательна. Но по доказанному ранее . Противоречие. Значит, второй член последовательности не может быть отрицательным.

б) Пусть второй член может равнятся 20. Так как — целые числа, из строгого неравенства следует нестрогое Тогда из следует

Значит, Но Противоречие. Второй член последовательности не может быть равен 20.

в) Из предыдущего пункта мы получили оценку на Так как по условию то Построим пример последовательности, в которой

Для этого должны выполняться равенства для для всех от 1 до 79. То есть последовательность разностей выглядит так: Тогда исходная последовательность: Она подходит под условие задачи и наименьшее значение второго члена равно 39.