.00 №19 из ЕГЭ 2021
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.
а) Может ли сумма трёх чисел быть равной 420?
б) Может ли сумма трёх чисел быть равной 419?
в) Сколько существует таких троек чисел, что первое число — трёхзначное, а последнее равно 5?
Источники:
По признакам делимости на 3 и на 9 число и его сумма цифр имеют одинаковые остатки при делении на 3 и на 9 соответственно. Поэтому все три числа имеют одинаковые остатки при делении на 3, значит их сумма делится на 3, так как сумма их остатков делится на 3.
а) Число 
делится на 
, поэтому нужно попробовать найти пример. Для начала поймем, каким может быть первое
число. Оно меньше 
, но является трёхзначным, иначе сумма трёх чисел не больше, чем 
Тогда если первое число
то 
Второе число не больше 
но является двузначным, иначе третье число будет равно второму, а числа
по условию различны.
Тогда если второе число
то 
Рассмотрим сумму трех чисел:
Пусть 
Тогда для суммы трех чисел имеем:
Так как 
то 
. Значит, 
Подходят 
и 
То есть
Проверим получившееся число:
Ответ: сумма трёх чисел может быть равна 
б) Если три числа имеют одинаковые остатки 
при делении на 3, то их сумма равна
Это число кратно 3. Как было показано выше, числа из условия имеют одинаковые остатки при делении на 3, поэтому их сумма должна делиться на 3, но 419 не кратно 3, поэтому сумма трёх чисел не может быть равна 419.
Ответ: сумма трёх чисел не может быть равна 419.
в) Если последнее число равно 5, то первые два числа имеют остаток 5 при делении на 9, значит, первое число имеет вид
. Так как первое число — трёхзначное, то
То есть всего существует 100 трёхзначных чисел, которые дают остаток 5 при делении на 9. Сумма цифр такого числа может равнятся 5, 14 и 23. Но второе число должно быть двузначным, иначе оно будет равно третьему числу. Значит, нам нужно найти количество трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 5, и вычесть их количество из 100, потому что они нам не подходят.
Переберем всевозможные варианты первой цифры. Она не меньше 1, но не больше 5.
Если первая цифра такого числа равна 5, то такое число одно — 500.
Если первая цифра равна 4, то есть два варианта: 401 и 410.
Если первая цифра равна 3, то есть три варианта: 302, 311 и 320.
Если первая цифра равна 2, то есть четыре варианта: 203, 212, 221 и 203.
Если первая цифра равна 1, то есть пять вариантов: 104, 113, 122, 131 и 140.
Всего мы получили 
трёхзначных чисел с суммой цифр 5. Они нам не подходят, поэтому троек чисел,
подходящих под условие, всего 
а) Да, может. Например, 
б) Нет, не может
в) 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
