Тема . Задачи №19 из ЕГЭ прошлых лет

.00 №19 из ЕГЭ 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи №19 из егэ прошлых лет

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#24442

Трёхзначные натуральные числа делятся на сумму их цифр. Известно, что полученное частное — целое число.

а) Может ли получиться 55?

б) Может ли получиться 87?

в) Найдите наименьшее возможное частное, если число не делится на 100, а его первая цифра равна 7.

Источники: ЕГЭ 2021, основная волна

Показать ответ и решение

Пусть дано трёхзначное число $--- abc.$ Тогда $--- abc =100a+ 10b+ c$ , его сумма сумма цифр равна $a+ b+ c.$

а) Если частное числа $--- abc$ и его суммы цифр равно $55,$ то

abc a+-b+-c = 55 ⇔ 100a+ 10b+ c= 55a+ 55b +55c ⇔ 45a= 45b+ 54c ⇔ 5a= 5b+ 6c

Видно, что при $a= 1,$ $b =1,$ и $c= 0$ равенство выполняется. Проверим число $abc-=110 :$

110:(1+ 1+ 0)= 110:2 =55.

Ответ: да, может, $110= 55. 2$

б) Пусть возможно такое, что частное числа $abc-$ и его суммы цифр равно $87,$ тогда

--- --abc-- a+ b+ c = 87 ⇔ 100a+ 10b+ c= 87(a+ b+ c) ⇔ 13a= 77b+86c.

Оценим $13a.$ Так как $a≤ 9,$

13a ≤117 ⇒ 77b+ 86c≤ 117

Тогда либо $b= 1$ и $c= 0,$ либо $b =0$ и $c= 1.$ Но ни 77, ни 86 не кратно 13, поэтому частное числа $--- abc$ и его суммы цифр не может равняться $87.$

Ответ: нет, не может.

в) Пусть $7bc= n(7+ b+ c),$ где $n$ — натуральное. Тогда

n = 700-+10b+-c-= 7+-b+-c+ 693+-9b= 1 + 693-+9b- ⇔ n− 1= -693-+9b = 9(b-+77) 7 +b +c 7+ b+ c 7+ b+ c 7+ b+c 7 +b +c 7+ b+ c

Так как $n$ — целое, то $(n − 1)$ тоже целое. По условию $--- 7bc$ не делится на 100. Это значит, что хотя бы одна из цифр $b$ и $c$ ненулевая, следовательно, $0< b+ c≤ 9+ 9= 18.$

Нужно найти наименьшее целое значение $(n− 1)$ . Для этого разберем все возможные случаи суммы $b+ c.$ Если в каком-то случае мы получим, что число $9(b+ 77)$ не делится нацело на $7+ b+ c,$ то это будет означать, что рассматриваемый вариант невозможен.

Пусть $b+ c= 18.$ Тогда $b= c= 9$ и число $9(b+ 77) =9 ⋅86$ не кратно $7+ 18 = 25.$
Пусть $b+ c= 17.$
- Если $b= 9,$ $c =8$ , то число $9(9+ 77) =9 ⋅86$ не кратно $7+ 17= 24.$
- Если $b= 8,$ $c =9$ , то число $9(8+ 77) =9 ⋅85$ не кратно $7+ 17= 24.$
Пусть $b+ c= 16.$
- Если $b= 9,$ $c =7$ , то число $9(9+ 77) =9 ⋅86$ не кратно $7+ 16= 23.$
- Если $b= 8,$ $c =8$ , то число $9(8+ 77) =9 ⋅85$ не кратно $7+ 16= 23.$
- Если $b= 7,$ $c =9$ , то число $9(7+ 77) =9 ⋅84$ не кратно $7+ 16= 23.$
Пусть $b+ c= 15.$
- Если $b= 9,$ $c =6$ , то число $9(9+ 77) =9 ⋅86$ не кратно $7+ 15= 22.$
- Если $b= 8,$ $c =7$ , то число $9(8+ 77) =9 ⋅85$ не кратно $7+ 15= 22.$
- Если $b= 7,$ $c =8$ , то число $9(7+ 77) =9 ⋅84$ не кратно $7+ 15= 22.$
- Если $b= 6,$ $c =9$ , то число $9(6+ 77) =9 ⋅83$ не кратно $7+ 15= 22.$
Пусть $b+ c= 14.$
- Если $b= 9,$ $c =5$ , то число $9(9+ 77) =9 ⋅86$ не кратно $7+ 14= 21.$
- Если $b= 8,$ $c =6$ , то число $9(8+ 77) =9 ⋅85$ не кратно $7+ 14= 21.$
- Если $b= 7,$ $c =7$ , то
  $n− 1= 9(7+-77)= 9-⋅84 = 3⋅12= 36 ⇒ n =36 +1 = 37 7+ 14 3⋅7$
- Если $b= 6,$ $c =8$ , то число $9(6+ 77) =9 ⋅83$ не кратно $7+ 14= 21.$
- Если $b= 5,$ $c =9$ , то число $9(5+ 77) =9 ⋅82$ не кратно $7+ 14= 21.$
Пусть $b+ c= 13.$
- Если $b= 9,$ $c =4$ , то число $9(9+ 77) =9 ⋅86$ не кратно $7+ 13= 20.$
- Если $b= 8,$ $c =5$ , то число $9(8+ 77) =9 ⋅85$ не кратно $7+ 13= 20.$
- Если $b= 7,$ $c =6$ , то число $9(7+ 77) =9 ⋅84$ не кратно $7+ 13= 20.$
- Если $b= 6,$ $c =7$ , то число $9(6+ 77) =9 ⋅83$ не кратно $7+ 13= 20.$
- Если $b= 5,$ $c =8$ , то число $9(5+ 77) =9 ⋅82$ не кратно $7+ 13= 20.$
- Если $b= 4,$ $c =9$ , то число $9(4+ 77) =9 ⋅81$ не кратно $7+ 13= 20.$
Пусть $b+ c≤ 12.$ Тогда
$n − 1= 693+-9b≥ 693-+9-⋅0 = 693> 36 ⇒ n > 36+ 1= 37 7+ b+ c 7+ 12 19$
Первое неравенство верно, потому что у правой дроби числитель меньше либо равен числителя дроби слева ( $693+ 9b≥ 693+ 9⋅0$ ), а знаменатель больше либо равен знаменателя дроби слева ( $7+ 12≥ 7+ b+ c$ ). Получили, что в этом случае, какие бы мы не брали $b$ и $c$ , мы всё равно получим $n> 37.$

Получается, наименьшее возможное значение частного $n = 37$ . Оно достигается при $abc= 777.$

Ответ:

а) Да, может

б) Нет, не может

в) $37$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.00 №19 из ЕГЭ 2021

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ