.00 №19 из ЕГЭ 2017

а) Если на доске написано поровну чисел, оканчивающихся на 4, и чисел, оканчивающихся на 8, то чисел каждого вида по 15 штук. Следовательно, если сложить все эти числа, то последняя цифра их суммы будет равна последней цифре числа

то есть последняя цифра должна быть равна 0, что противоречит условию.

б) Рассмотрим все идущие подряд 30 натуральных чисел, оканчивающихся на 4, начиная с самого маленького:

Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 10. Следовательно, их сумма равна

Заметим, что это намного больше чем 2786. Также заметим, что это наименьшая возможная сумма 30-ти различных чисел, оканчивающихся на 4. Как нам максимально уменьшить эту сумму, убрав четыре числа, оканчивающихся на 4, и добавив четыре числа, оканчивающихся на 8? Нужно убрать самые большие числа,оканчивающиеся на 4, и добавить самые маленькие, оканчивающиеся на 8. То есть нужно убрать 294, 284, 274, 264 и добавить Но в этом случае сумма всех чисел будет равна

Значит, на 8 не могут оканчиваться ровно 4 числа.

в) Назовем числа, оканчивающиеся на 4, «числа Ч», а оканчивающиеся на 8 – «числа В».

Из пункта б) следует, что для того, чтобы понять, какое наименьшее количество чисел В может быть на доске, нужно убирать самые большие числа Ч и добавлять самые маленькие числа В, чтобы для начала их сумма максимально приблизилась к числу 2786.

Уберем еще 254 и добавим 48. Тогда, аналогично алгоритму в пункте б), нужно уменьшить сумму на 206: Уберем еще числа 244 и 234 и добавим числа 58 и 68, тогда сумма равна Итак, это наименьшая возможная сумма, если на доске написано семь чисел В.

Заметим, что каждый раз, убирая любое число Ч и добавляя любое число В, мы уменьшаем сумму на число Если изначально (когда было 30 чисел Ч) последняя цифра их суммы была равна 0, то после восьми замен (убираем число Ч и добавляем число В) последняя цифра суммы будет как у числа По условию сумма должна быть равна 2786, следовательно, восемь чисел В на доске быть не может.

А вот для девяти чисел В на доске последняя цифра суммы всех чисел будет равна 6.

Докажем, что девять – наименьшее количество чисел В, которое может быть написано на доске.

Сейчас мы имеем семь чисел В: 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68.

и 23 числа Ч: 4, 14, 24, …, 214, 224.

Их сумма равна 2888.

Нам нужно получить сумму 2786, то есть уменьшить имеющуюся у нас сумму на 102. Как говорилось ранее, «каждый раз, убирая любое число Ч и добавляя любое число В, мы уменьшаем сумму на число ». Представим 102 как

Уберем число Ч и добавим число В так, чтобы сумма всех чисел уменьшилась на 46, а потом уберем число Ч и добавим число В так, чтобы сумма уменьшилась на 56.

Пример: убираем 124 и добавляем 78; убираем 144 и добавляем 88.

Таким образом, мы построили пример, когда на доске написано девять чисел В и доказали, что меньше девяти быть не может.