.00 №19 из ЕГЭ 2017

а) Пусть 5 человек писали только первую контрольную и получили за нее по 0 баллов, еще 5 человек писали только вторую контрольную и получили за нее по 0 баллов.

Пусть оставшиеся 18 человек писали обе контрольные, причем каждый получил за обе одинаковое количество баллов.

Составим таблицу:

 

Здесь «» значит, что человек не писал контрольную.

Для того, чтобы среднее арифметическое оценок за первую контрольную или за вторую контрольную было равно 15, нужно, чтобы

То есть надо найти такие 18 чисел, сумма которых равна Возьмем 15 чисел, равных 20, и 3 числа, равных 15:

Составим таблицу:

 

Видим, что среднее арифметическое лучших оценок всех учеников равно:

Замечание.

Мы получили дробь, у которой числитель такой же, как в среднем арифметическом для каждой контрольной, а вот знаменатель уже не 23, а 28.

б) Пусть — сумма максимальных баллов всех студентов. Предположим, что то есть

Заметим, что либо первую, либо вторую контрольную писало не менее 14 человек, так как если каждую контрольную писало менее 14 человек, то всего студентов менее 28. Можно считать, что не менее 14 человек писало первую контрольную.

Пусть — сумма баллов по первой контрольной, — количество человек, писавших эту контрольную. Тогда имеем:

Докажем, что

Действительно, возьмем произвольного студента. Если он писал только первую контрольную, то его балл будет участвовать и в и в Если он писал только вторую контрольную, то его балл будет участвовать в но не будет участвовать в Если он писал обе контрольные, то в будет участвовать его балл за первую контрольную, а в — его наибольший балл, то есть либо этот же балл, либо выше.

Таким образом, во-первых, слагаемых в будет больше, чем в часть из них будет совпадать со слагаемыми из а часть будет больше или равна. Что и требовалось доказать.

в) Пусть — сумма баллов тех, кто писал только первую контрольную, — кто писал только вторую контрольную, — сумма максимальных баллов среди 10-ти, писавших обе, — сумма минимальных баллов среди этих 10-ти. Тогда имеем:

Заметим, что среднее арифметическое всех оценок по всем контрольным также равно 15, только вот количество ВСЕХ оценок уже равно Следовательно,

Тогда имеем:

Заметим, что так как максимальная оценка за контрольную — 20 баллов, то Следовательно, Тогда имеем:

Приведем пример для Из получения оценки следует, что то есть 10 студентов, писавших обе контрольные, получили по 20 баллов за каждую. Тогда имеем:

Если взять то количество студентов, писавших только первую контрольную, равно

Тогда только вторую контрольную тоже должно писать 9 человек.

То есть мы пришли к тому, что нужно показать, что есть такие 9 натуральных чисел от 0 до 20, которые в сумме дают 85. Такой пример существует: