.00 №19 из ЕГЭ 2015

а) Пусть всего было два участника, которые изначально набрали 82 и 2 балла и не сдали тест.

Тогда их средний балл равен

После добавления баллов у учеников оказалось 87 и 7 баллов. Тогда средний балл не сдавших тест учеников равен 7. Значит, средний балл не сдавших тест учеников мог уменьшиться.

б) Добавим к примеру из предыдущего пункта ученика, который изначально сдал тест, пусть его балл при этом равен Значит, средний балл сдавших тест учеников изначально был равен После добавления баллов средний балл сдавших тест учеников стал равен

По условию этот средний балл должен быть меньше тогда имеем неравенство:

Пусть изначально ученики получили 94, 82 и 2 балла. Тогда начальный и конечный средние баллы не сдавших тест такие же, как в примере пункта а), и средний балл понизился с 42 до 7. Начальный средний балл сдавших равен 94, а конечный средний балл сдавших равен

Значит, средний балл не сдавших тест учеников и средний балл сдавших тест учеников могли уменьшиться.

в) Пусть всего учеников сдавали тест, при этом изначально тест сдали человек, а после добавления баллов — человек.

Заметим, что после добавления 5 баллов к результату каждого ученика средний балл всех учеников тоже увеличился на 5, то есть стал равен 95.

Изначально сумма баллов равна с другой стороны, она равна После добавления баллов сумма баллов стала равна или Имеем систему из двух уравнений:

Тогда должно делиться на 5 и на 3, то есть должно делиться на 15. Следовательно, Если то и Значит, после добавления баллов добавился ровно один ученик, который сдал тест.

Пусть изначально каждый из девяти сдавших тест учеников получил по баллов, один из не сдавших получил баллов, остальные пять получили по баллов.

Тогда изначальный средний балл сдавших равен

Конечный средний балл сдавших равен

Изначальный средний балл не сдавших равен

Значит, могло равняться 15, если изначально пять учеников набрали по 74 балла, один ученик набрал 80 баллов и девять учеников набрали по 100 баллов.

Тогда средний балл участников теста был равен 90, средний балл сдавших тест учеников был равен 100, а средний балл не сдавших тест учеников был равен 75.

После добавления баллов средний балл сдавших тест учеников стал равен 103, средний балл не сдавших тест учеников стал равен 79. Таким образом, все условия выполнены.