.00 №19 из ЕГЭ 2022

а) Докажем, что все расставленные числа нечетные. Рассмотрим любое число из круга. Сумма трех чисел слева от него по условию не делится на 2, то есть нечетная. Сумма этих чисел и рассматриваемого числа должна делится на 4 по условию, то есть должна быть четной, следовательно, рассматриваемое число нечетно. Таким образом, можем получить, что все числа нечетные. Среди натуральных чисел, которые не больше 425, есть всего 213 различных нечетных числа, значит, в кругу не могло быть 280 различных натуральных чисел.

б) Пусть по кругу могли быть расставлены 149 чисел. По предыдущему пункту все они должны быть нечетными. Нечетные числа при делении на 4 могут давать в остатке либо 1, либо 3. Рассмотрим любую четверку подряд идущих чисел. Сумма чисел в ней по условию должна делится на 4, значит, сумма остатков этих чисел тоже должна делится на 4. Это могло случиться только если в четверке были либо четыре числа с остатком 1, либо четыре числа с остатком 3, либо два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3.

Пусть в четверке было четыре числа с одинаковым остатком. Тогда рассмотрим следующую по кругу четверку, в которой есть три числа из предыдущей четверки и одно новое — соседнее. Сумма чисел в этой четверке тоже должна делится на 4, значит, новое число тоже должно иметь такой же остаток, что и все остальные числа в этой четверке, иначе сумма не будет делится на 4. Аналогичными рассуждениями можно получить, что все числа в кругу должны иметь одинаковый остаток при делении на 4. Заметим, что среди натуральных чисел, меньших 425, есть всего 106 различных числел с одним и тем же остатком при делении на 4, противоречие. Значит, в четверке могли быть только два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3.

Пусть два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3 стояли в таком порядке: 1, 3, 1, 3. Рассмотрим следующую четверку. Первые три числа в ней такие: 3, 1, 3, значит, четвертое должно иметь остаток 1. Аналогичными рассуждениями можем получить, что в таком случае остатки чисел должны чередоваться, но в кругу всего 149 чисел, значит, где-то найдутся два одинаковых остатка рядом, противоречие.

Пусть два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3 стояли в таком порядке: 1, 1, 3, 3. Рассмотрим следующую четверку. Первые три числа в ней такие: 1, 3, 3, значит, четвертое должно иметь остаток 1. Аналогичными рассуждениями можем получить, что в таком случае остатки чисел должны чередоваться по два, то есть идти в таком порядке: …1, 1, 3, 3, 1, 1, 3, 3 …Тогда в кругу должно быть четное количество чисел, но в нем всего 149 чисел, противоречие.

Значит, в кругу не могло быть 149 чисел.

в) В пункте а) мы доказали, что чисел в кругу не может быть более 213. В пункте б) мы доказали, что в количество чисел должно быть четно, следовательно, чисел не может быть более 212. Приведем пример на 212 числа. Расставим все нечетные числа по кругу в порядке возрастания (за исключением места …423, 1,…) Тогда сумма любых трех последовательных чисел не кратна 2, а сумма любых четырех последовательных чисел делится на 4.