№19 из ЕГЭ 2022

а) Докажем, что все расставленные числа нечетные. Рассмотрим любое число из круга. Сумма трех чисел слева от него по условию не делится на 2, то есть нечетная. Сумма этих чисел и рассматриваемого числа должна делится на 4 по условию, то есть должна быть четной, следовательно, рассматриваемое число нечетно. Таким образом, можем получить, что все числа нечетные. Среди натуральных чисел, которые не больше 425, есть всего 213 различных нечетных числа, значит, в кругу не могло быть 280 различных натуральных чисел.

б) Пусть по кругу могли быть расставлены 149 чисел. По предыдущему пункту все они должны быть нечетными. Нечетные числа при делении на 4 могут давать в остатке либо 1, либо 3. Рассмотрим любую четверку подряд идущих чисел. Сумма чисел в ней по условию должна делится на 4, значит, сумма остатков этих чисел тоже должна делится на 4. Это могло случиться только если в четверке были либо четыре числа с остатком 1, либо четыре числа с остатком 3, либо два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3.

Пусть в четверке было четыре числа с одинаковым остатком. Тогда рассмотрим следующую по кругу четверку, в которой есть три числа из предыдущей четверки и одно новое — соседнее. Сумма чисел в этой четверке тоже должна делится на 4, значит, новое число тоже должно иметь такой же остаток, что и все остальные числа в этой четверке, иначе сумма не будет делится на 4. Аналогичными рассуждениями можно получить, что все числа в кругу должны иметь одинаковый остаток при делении на 4. Заметим, что среди натуральных чисел, меньших 425, есть всего 106 различных числел с одним и тем же остатком при делении на 4, противоречие. Значит, в четверке могли быть только два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3.

Пусть два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3 стояли в таком порядке: 1, 3, 1, 3. Рассмотрим следующую четверку. Первые три числа в ней такие: 3, 1, 3, значит, четвертое должно иметь остаток 1. Аналогичными рассуждениями можем получить, что в таком случае остатки чисел должны чередоваться, но в кругу всего 149 чисел, значит, где-то найдутся два одинаковых остатка рядом, противоречие.

Пусть два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3 стояли в таком порядке: 1, 1, 3, 3. Рассмотрим следующую четверку. Первые три числа в ней такие: 1, 3, 3, значит, четвертое должно иметь остаток 1. Аналогичными рассуждениями можем получить, что в таком случае остатки чисел должны чередоваться по два, то есть идти в таком порядке: …1, 1, 3, 3, 1, 1, 3, 3 …Тогда в кругу должно быть четное количество чисел, но в нем всего 149 чисел, противоречие.

Значит, в кругу не могло быть 149 чисел.

в) В пункте а) мы доказали, что чисел в кругу не может быть более 213. В пункте б) мы доказали, что в количество чисел должно быть четно, следовательно, чисел не может быть более 212. Приведем пример на 212 числа. Расставим все нечетные числа по кругу в порядке возрастания (за исключением места …423, 1,…) Тогда сумма любых трех последовательных чисел не кратна 2, а сумма любых четырех последовательных чисел делится на 4.

Пронумеруем числа в кругу от 1 до Получим следующую расстановку:

а) Рассмотрим четыре подряд идущих числа

Если бы делилось на 3, то из делимости суммы на 3 следовало бы, что сумма кратна 3, что противоречит условию.

Аналогично рассуждая, мы можем сказать, что из этой четверки не делится на 3. Так как числа расставлены по кругу, то для каждого числа есть две четверки, где оно первое или четвертое. Следовательно, все чисел не делятся на 3.

Чисел от 1 до 339, делящихся на 3, 113 штук. Следовательно, не кратных 3 — 226 штук, что меньше 240.

Ответ: нет, не может.

б) Из пункта а) следует, что проблем с количеством чисел нет. Также из него следует, что среди этих чисел нет чисел, дающих остаток 0 при делении на 3. Следовательно, могут быть только остатки 1 и 2.

Единственная четверка чисел, каждое из которых может быть равно 1 или 2, такая, что сумма этих четырех чисел делится на 3 — это

Рассмотрим вместо расставленных чисел расставленные по кругу их остатки при делении на 3, то есть числа 1 и 2.

Если где-то стоят рядом две единицы, то есть то справа и слева от должны быть Тогда за/перед должны стоять то есть последовательность остатков будет такая:

Следовательно, единиц и двоек должно быть четно, значит и всех чисел должно быть четно. А 129 нечетно.

Если где-то рядом стоят то по краям от них стоят 1 и 2, то есть имеем либо четверку (рассмотрели выше), либо Следовательно, еще одна возможная последовательность остатков такая:

Тогда числа можно разбить на пары вида Однако 129 чисел нельзя разбить на пары.

Ответ: нет, не может.

в) Из пункта а) получаем оценку на количество чисел А в пункте б) мы получили, что количество чисел четно, следовательно, наибольшее возможное значение равно 226.

В качестве примера возьмем числа от 1 до 338 в порядке возрастания, исключив из них делящиеся на 3, что соответствует последовательности остатков

а) Докажем, что все расставленные числа нечетные. Рассмотрим любое число из круга. Сумма трех чисел слева от него по условию не делится на 2, то есть нечетная. Сумма этих чисел и рассматриваемого числа делится на 4, то есть четна, следовательно, рассматриваемое число нечетно. Таким образом, можем получить, что все числа нечетные. Среди натуральных чисел, меньших 365, есть всего 182 различных нечетных числа, значит, в круге не могло быть 200 чисел.

б) Пусть по кругу могли быть расставлены 109 чисел. По предыдущему пункту все они должны быть нечетными. Нечетные числа при делении на 4 могут давать в остатке либо 1, либо 3. Рассмотрим любую четверку подряд идущих чисел. Сумма чисел в ней по условию должна делиться на 4, значит, сумма остатков этих чисел тоже должна делиться на 4. Это могло случиться только если в четверке были либо четыре числа с остатком 1, либо четыре числа с остатком 3, либо два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3.

Пусть в четверке было четыре числа с одинаковыми остатками. Тогда рассмотрим следующую по кругу четверку, в которой есть три числа из предыдущей четверки и одно новое — соседнее. Сумма чисел в этой четверке тоже должна делиться на 4, значит, новое число тоже должно иметь такой же остаток, что и все остальные числа в этой четверке, иначе сумма не будет делиться на 4. Аналогичными рассуждениями можно получить, что все числа в круге должны иметь одинаковые остатки при делении на 4. Заметим, что среди натуральных чисел, меньших 365, есть всего 91 число с одним и тем же остатком при делении на 4. Получили противоречие. Значит, в четверке могли быть только два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3.

Пусть два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3 стояли в таком порядке: 1, 3, 1, 3. Рассмотрим следующую четверку. Первые три числа в ней такие: 3, 1, 3, значит, четвертое должно иметь остаток 1. Аналогичными рассуждениями можем получить, что в таком случае остатки чисел должны чередоваться. Однако в круге всего 109 чисел, значит, где-то найдутся два одинаковых остатка рядом. Получили противоречие.

Пусть два числа с остатком 1 и два числа с остатком 3 стояли в таком порядке: 1, 1, 3, 3. Рассмотрим следующую четверку. Первые три числа в ней такие: 1, 3, 3, значит, четвертое должно иметь остаток 1. Аналогичными рассуждениями можем получить, что в таком случае остатки чисел должны чередоваться по два, то есть идти в таком порядке:

Тогда в круге должно быть четное количество чисел, но в нем всего 109 чисел. Получили противоречие.

Значит, в круге не могло быть 109 чисел.

в) В пункте а) мы доказали, что чисел в круге не может быть более 182. Приведем пример на 182 числа. Расставим все нечетные числа от 1 до 363 по кругу в порядке возрастания (за исключением места …363, 1,…). Тогда сумма любых трех последовательных чисел не кратна 2, а сумма любых четырех последовательных чисел делится на 4.

a) Сумма цифр числа 610 равна 7. Следовательно, в результате операции из этого числа получится

Ответ: да, может.

б) Пусть число равно где и — цифры и Тогда сумма цифр такого числа равна а в результате операции из него получится число

Получившееся число делится на 3. Следовательно, число 251 не могло получиться, так как оно на 3 не делится.

Ответ: нет, не может.

в) Заметим, что получившееся число не зависит от последней цифры исходного числа, поэтому достаточно найти количество различных чисел, получающихся из чисел, делящихся на 10. Рассмотрим числа

где и — цифры и В результате операции из них получатся числа

Разность этих чисел равна

Если то эта разность не может быть равной нулю, поскольку

Если то разность может быть равной нулю только при то есть если исходные числа совпадают.

Значит, в результате операции из различных трёхзначных чисел, делящихся на 10, получаются различные числа.

Среди чисел от 600 до 999 ровно 40 чисел делятся на 10. Следовательно, в результате операции из чисел от 600 до 999 может получиться 40 различных чисел.

а) Если на доске написаны два числа, идущие подряд, то любое число делится на их разность, равную 1. Если на доске написаны числа 18 и 20, то каждое из этих чисел делится на их разность, равную 2. Значит, никакие два из чисел 18, 19 и 20 не могли быть написаны на доске одновременно.

б) Если на доске написано 25 чисел, то хотя бы два из них дают одинаковые остатки при делении на 17. Значит, разность этих чисел делится на 17. Следовательно, не может быть равным 25.

в) Предположим, что Если на доске есть число то хотя бы два из написанных на доске чисел дают одинаковые остатки при делении на но тогда их разность делится на Значит, каждое из чисел, написанных на доске, больше 33.

Среди любых различных чисел от 34 до 99 найдутся два, идущих подряд. Разность этих чисел равна 1, и на неё делится любое число, написанное на доске. Получаем противоречие. Следовательно,

Покажем, что может быть равным 33. Пусть на доске написаны нечётные числа от 35 до 99:

Разность любых двух из этих чисел чётная, а значит, ни одно из написанных на доске чисел не делится на неё. С другой стороны, каждая из таких разностей не превосходит 64. Следовательно, любой нечётный делитель такой разности не превосходит 31. Таким образом, построенный пример удовлетворяет условию задачи.

а) Покажем, как переместить ровно три камня из второй коробки в третью:

За 6 раз такими операциями мы можем переместить 18 камней из второй коробки в третью.

б) Рассмотрим разность чисел камней в третьей и первой коробках. Пусть в первой сейчас камней, в третьей камней. Тогда разность равна

Если мы переложим два камня в первую коробку, то разность будет равна

Если мы переложим два камня во вторую коробку, то разность будет равна

Если мы переложим два камня в третью коробку, то разность будет равна

Мы получили, что после любой операции разность либо изменяется на 3, либо остается прежней, то есть после любых операций разность должна измениться на число, кратное 3. Тогда если в третьей коробке после некоторых операций могли оказаться все камень, то в конце разность должна быть равна

Изначально разность была равна значит, она изменилась на Однако 205 не делится на 3, значит, в третьей коробке не мог оказаться 141 камень.

в) Аналогично предыдущему пункту мы можем доказать, что разность между любыми двумя коробками может измениться только на число, кратное 3.

Тогда посмотрим на изначальную разность между второй и первой коробками. Она равна По условию в первой коробке оказался 1 камень.

Найдем наименьшее количество камней, которое могло оказаться во второй коробке. Так как разность изменяется на число, кратное 3, то имеем:

Тогда в третьей коробке может быть не более камней.

Покажем, как можно добиться 138 камней ровно. Сначала научимся перемещать по 2 камня в третью коробку из каждой другой:

Заметим, что для того, чтобы можно было проделать такие операции, в первых двух коробках должно быть хотя бы 3 и 5 камней. Тогда мы можем делать такие операции, пока не дойдем до ситуации

Теперь будем перекладывать по 2 камня из второй коробки в третью:

Окончательно имеем:

а) Покажем, как переместить ровно четыре камня из третьей коробки в четвертую:

б) Рассмотрим разность чисел камней в четвертой и первой коробках. Пусть в первой сейчас камней, в четвертой камней. Тогда разность равна

Если мы переложим три камня в первую коробку, то разность будет равна

Если мы переложим три камня во вторую коробку, то разность будет равна

Если мы переложим три камня в третью коробку, то разность будет равна

Если мы переложим три камня в четвертую коробку, то разность будет равна

Мы получили, что после любой операции разность либо изменяется на 4, либо остается прежней, то есть после любых операций разность должна измениться на число, кратное 4. Тогда если в четвертой коробке после некоторых операций могли оказаться все камней, то в конце разность должна быть равна

Изначально разность была равна значит, она изменилась на Однако 487 не делится на 4, значит, в четвертой коробке не могли оказаться 366 камней.

в) Аналогично предыдущему пункту мы можем доказать, что разность между любыми двумя коробками может измениться только на число, кратное 4.

Тогда посмотрим на изначальную разность между второй и первой коробками. Она равна Разность между третьей и второй коробками равна Тогда если в первой коробке после всех операций не оказалось камней, то во второй и в третьей коробках лежит хотя бы по 1 и 2 камня соответственно, то есть в первых трех коробках есть хотя бы 3 камня.

Если в первой коробке 1 камень, то во второй коробке есть хотя бы 2 камня, то есть количество камней хотя бы 3.

Если в первой коробке 2 камня, то во второй коробке есть хотя бы 3 камня, то есть количество камней в первых трех коробках не меньше 5.

Если в первой коробке есть хотя бы 3 камня, то в первых трех коробках уже точно есть хотя бы 3 камня.

Значит, в четвертой коробке не больше 363 камней.

Покажем, как можно добиться 363 камней ровно. Переложим из третьей коробки 120 камней в четвертую с помощью операций из пункта а). Получим ситуацию

Теперь аналогично будем перекладывать по 4 камня из второй коробки в четвертую:

С помощью таких операций переложим 116 камней. Получим ситуацию

Теперь аналогично будем перекладывать по 4 камня из первой коробки в четвертую:

С помощью таких операций переложим 116 камней. Получим ситуацию

Окончательно имеем:

а) Да, полученная сумма могла равняться например, если числа были такими:

б) Число 126 кратно 9, значит, среди слагаемых была дробь со знаменателем 9. Знаменателя 0 быть не могло, значит, последние цифры чисел были равны 6, 7, 8 и 9. Тогда можем представить исходные числа так: и Значит,

Решим полученное уравнение:

Значит, полученная сумма не может равняться

в) Пусть последними цифрами исходных чисел были цифры 1, 2, 3 и 4. Тогда сумма будет равна

Числа и являются трехзначными по условию, значит, — не больше, чем двухзначное, то есть Тогда при достигается наибольшая сумма для рассматриваемых последних цифр, то есть

Если последние цифры были другими, то в них не было 1. Тогда каждое слагаемое не превосходило бы Значит, сумма была бы не более 2000.

а) Заметим, что все исходные числа отличаются только последней цифрой, так как по условию она не может быть равной 0 и нет перехода через десяток. Тогда пусть изначально даны числа

Здесь — цифра от 1 до 6. Тогда по условию имеем:

Заметим, что среди цифр и только одна может делиться на 5, то есть равняться 5. Тогда пусть

Следовательно, может быть кратно только или не делиться на 5 вовсе. Если делится на 5, то пусть Тогда имеем:

Число натуральное и не кратно 5, значит, Аналогично, если не делится на 5. Тогда число натуральное и не кратно 5, то есть

Значит, полученная сумма не может равняться 42,3.

б) Число 72 кратно 9, значит, среди слагаемых была дробь со знаменателем 9. Знаменателя 0 быть не могло, значит, последние цифры чисел были равны 6, 7, 8 и 9. Тогда можем представить исходные числа следующим образом:

Значит, получаем

Решим полученное уравнение:

Значит, полученная сумма не может равняться

в) Пусть последними цифрами исходных чисел были цифры 1, 2, 3 и 4. Тогда сумма будет равна

Числа и являются трехзначными по условию, значит, — не более чем двухзначное, то есть Заметим, что сумма должна быть целая, значит, делится на 6. Тогда то есть при достигается наибольшая сумма для рассматриваемых последних цифр:

Если последние цифры были другими, то в них не было 1. Тогда каждое слагаемое не превосходило бы Значит, сумма была бы не более 2000.

а) Да, полученная сумма могла равняться например, если числа были такими:

б) Пусть есть -значное число Пусть — его первая цифра. Тогда Значит, мы можем оценить

Наша сумма равна значит, среди исходных чисел нет четырехзначных, но обязательно есть трехзначные.

Также заметим, что знаменатель, равный 72, может появиться только тогда, когда в исходных числах есть те, которые начинаются на 8 и на 9. Тогда, так как числа последовательные, среди них обязательно должны быть числа 899 и 900. Значит, единственные возможные наборы это

Нетрудно проверить, что наибольшая сумма достигается в первом наборе. Тогда сумма не превосходит

в) Сначала рассмотрим вариант, когда у всех четырех чисел одинаковая первая цифра. Пусть она равна Тогда

Пусть у нас есть четыре последовательных числа: и Тогда

Заметим, что при такая сумма никогда не будет целой. Значит, если первые цифры всех четырех чисел одинаковые, Тогда сумма не больше, чем

Такая сумма достигается при то есть если даны числа 596, 597, 598 и 599.

Рассмотрим вариант, когда существуют два числа с различными первыми цифрами. Тогда обязательно есть число вида значит, его вклад в сумму составляет Вклад любого другого числа не превосходит

Тогда вся сумма не превосходит

Значит, наибольшее значение, которое может принимать такая сумма, равно 478.

а) Да, полученная сумма могла равняться 386, например, если были даны числа 109, 110, 111 и 112. Тогда

б) Если полученная сумма равна то хотя бы одно из чисел должны были поделить на 8. При этом число должно быть нечетным, так как в знаменателе должна остаться 8. Если существует такое число меньше 80, то оно заканчивается на 8, то есть является четным; число 80 также четно. Тогда наименьшее такое число равно 81 и сумма будет уже по крайней мере

Значит, полученная сумма не может равняться

в) Найдем четыре наибольших последовательных натуральных числа из промежутка в каждом из которых есть 1. Если 1 есть в каждом числе, то хотя бы в трех из них она должна стоять в втором разряде. Тогда наибольшие такие числа это 616, 617, 618 и 619. Значит, наибольшая сумма равна

Если хотя бы одно из четырех чисел мы будем делить на цифру, большую 1, то сумма не будет превосходить

Значит, наибольшее значение, которое может принимать такая сумма, равно 2470.

а) Попробуем построить пример. Пусть и Тогда условие выполняется.

Положим в третью кучку три камня самого минимального веса, то есть 100 г. Тогда

Во вторую кучку попробуем положить камни так, что бы их суммарный вес был равен 400 г. Для этого нам нужно взять два камня по 200 г, то есть

В третью кучку мы можем положить камень весом в 500 г. Тогда Таким образом, мы получили пример, удовлетворяющий условиям и

б) Попробуем построить пример. Пусть и Число подберем позже, пока будем считать, что оно достаточно большое. Суммарный вес камней в третьей кучке должен быть наименьшим, тогда можем положить в нее камня весом в 100 г. Таким образом, В остальные кучки также положим камни по 100 г. Тогда и

Теперь нужно заменить во второй кучке несколько камней так, чтобы стало больше Сейчас Максимальный возможный вес камня равен 105 г по условию. Тогда если во второй кучке заменим один камень весом в 100 г на камень весом в 105 г, разница уменьшится на 5. Сделаем такую операцию 21 раз. Тогда получим, что то есть

Сейчас и

Теперь нужно заменить в первой кучке несколько камней так, чтобы стало больше Сначала аналогично заменим 21 камень. Тогда значит, Аналогично заменим еще 21 камень в первой кучке, тогда

Значит, если возьмем то получим пример: в первой кучке 42 камня весом 105 г, во второй — 21 камень весом 105 г и 22 камня весом 100 г, в третьей — 44 камня весом 100 г. При этом г, г и г.

в) Заметим, что так как вес камней по условию не меньше 100 г. Если то в каждой кучке будут лежать только камни весом в 100 г, тогда и Так как при этом то Получили противоречие. Следовательно, Построим пример для аналогично предыдущему пункту.

Пусть и Число подберем позже, пока будем считать, что оно достаточно большое. Суммарный вес камней в третьей кучке должен быть наименьшим, тогда можем положить в нее камня весом в 100 г. Таким образом, В остальные кучки также положим камни по 100 г. Тогда и

Теперь нужно заменить во второй кучке несколько камней так, чтобы стало больше Сейчас Максимальный возможный вес камня равен г. Тогда если во второй кучке заменим один камень весом в 100 г на камень весом в 101 г, разница уменьшится на 1. Сделаем такую операцию 101 раз. Тогда получим, что то есть

Сейчас и

Теперь нужно заменить в первой кучке несколько камней так, чтобы стало больше Сначала аналогично заменим 101 камень. Тогда значит, Аналогично заменим еще 101 камень в первой кучке, тогда

Значит, если возьмем то получим пример: в первой кучке 202 камня весом 101 г, во второй — 101 камень весом 101 г и 102 камня весом 100 г, в третьей — 204 камня весом 100 г. При этом г, г и г.