.00 №19 из ЕГЭ 2022

Пронумеруем числа в кругу от 1 до Получим следующую расстановку:

а) Рассмотрим четыре подряд идущих числа

Если бы делилось на 3, то из делимости суммы на 3 следовало бы, что сумма кратна 3, что противоречит условию.

Аналогично рассуждая, мы можем сказать, что из этой четверки не делится на 3. Так как числа расставлены по кругу, то для каждого числа есть две четверки, где оно первое или четвертое. Следовательно, все чисел не делятся на 3.

Чисел от 1 до 339, делящихся на 3, 113 штук. Следовательно, не кратных 3 — 226 штук, что меньше 240.

Ответ: нет, не может.

б) Из пункта а) следует, что проблем с количеством чисел нет. Также из него следует, что среди этих чисел нет чисел, дающих остаток 0 при делении на 3. Следовательно, могут быть только остатки 1 и 2.

Единственная четверка чисел, каждое из которых может быть равно 1 или 2, такая, что сумма этих четырех чисел делится на 3 — это

Рассмотрим вместо расставленных чисел расставленные по кругу их остатки при делении на 3, то есть числа 1 и 2.

Если где-то стоят рядом две единицы, то есть то справа и слева от должны быть Тогда за/перед должны стоять то есть последовательность остатков будет такая:

Следовательно, единиц и двоек должно быть четно, значит и всех чисел должно быть четно. А 129 нечетно.

Если где-то рядом стоят то по краям от них стоят 1 и 2, то есть имеем либо четверку (рассмотрели выше), либо Следовательно, еще одна возможная последовательность остатков такая:

Тогда числа можно разбить на пары вида Однако 129 чисел нельзя разбить на пары.

Ответ: нет, не может.

в) Из пункта а) получаем оценку на количество чисел А в пункте б) мы получили, что количество чисел четно, следовательно, наибольшее возможное значение равно 226.

В качестве примера возьмем числа от 1 до 338 в порядке возрастания, исключив из них делящиеся на 3, что соответствует последовательности остатков