.00 №19 из ЕГЭ 2022
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Есть три коробки: в первой коробке 64 камня, во второй — 77 камней, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Может ли в первой коробке оказаться 64 камня, во второй — 59 камней, а в третьей — 18 камней?
б) Может ли в третьей коробке оказаться 141 камень?
в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней может оказаться в третьей коробке?
Источники:
а) Покажем, как переместить ровно три камня из второй коробки в третью:
За 6 раз такими операциями мы можем переместить 18 камней из второй коробки в третью.
б) Рассмотрим разность чисел камней в третьей и первой коробках. Пусть в первой сейчас 
камней, в третьей 
камней.
Тогда разность равна 
Если мы переложим два камня в первую коробку, то разность будет равна
Если мы переложим два камня во вторую коробку, то разность будет равна
Если мы переложим два камня в третью коробку, то разность будет равна
Мы получили, что после любой операции разность либо изменяется на 3, либо остается прежней, то есть после любых
операций разность должна измениться на число, кратное 3. Тогда если в третьей коробке после некоторых операций могли
оказаться все 
камень, то в конце разность должна быть равна 
Изначально разность была равна 
значит, она изменилась на 
Однако 205 не делится на 3,
значит, в третьей коробке не мог оказаться 141 камень.
в) Аналогично предыдущему пункту мы можем доказать, что разность между любыми двумя коробками может измениться только на число, кратное 3.
Тогда посмотрим на изначальную разность между второй и первой коробками. Она равна 
По условию в первой
коробке оказался 1 камень.
Найдем наименьшее количество 
камней, которое могло оказаться во второй коробке. Так как разность изменяется на
число, кратное 3, то имеем:
Тогда в третьей коробке может быть не более 
камней.
Покажем, как можно добиться 138 камней ровно. Сначала научимся перемещать по 2 камня в третью коробку из каждой другой:
Заметим, что для того, чтобы можно было проделать такие операции, в первых двух коробках должно быть хотя бы 3 и 5
камней. Тогда мы можем делать такие операции, пока не дойдем до ситуации 
Теперь будем перекладывать по 2 камня из второй коробки в третью:
Окончательно имеем:
а) Да, может
б) Нет, не может
в) 138
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б), | 2 |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте в) | |
| Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
