.00 №19 из ЕГЭ 2022
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Есть четыре коробки: в первой коробке 121 камень, во второй — 122 камня, в третьей — 123 камня, а в четвёртой камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трех коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Может ли в первой коробке оказаться 121 камень, во второй — 122 камня, в третьей — 119 камней, а в четвёртой 4 камня?
б) Может ли в четвертой коробке быть 366 камней?
в) Какое максимальное число камней может быть в четвертой коробке?
Источники:
а) Покажем, как переместить ровно четыре камня из третьей коробки в четвертую:
б) Рассмотрим разность чисел камней в четвертой и первой коробках. Пусть в первой сейчас 
камней, в четвертой 
камней. Тогда разность равна 
Если мы переложим три камня в первую коробку, то разность будет равна
Если мы переложим три камня во вторую коробку, то разность будет равна
Если мы переложим три камня в третью коробку, то разность будет равна
Если мы переложим три камня в четвертую коробку, то разность будет равна
Мы получили, что после любой операции разность либо изменяется на 4, либо остается прежней, то есть после любых
операций разность должна измениться на число, кратное 4. Тогда если в четвертой коробке после некоторых операций могли
оказаться все 
камней, то в конце разность должна быть равна 
Изначально разность была равна 
значит, она изменилась на 
Однако 487 не делится на
4, значит, в четвертой коробке не могли оказаться 366 камней.
в) Аналогично предыдущему пункту мы можем доказать, что разность между любыми двумя коробками может измениться только на число, кратное 4.
Тогда посмотрим на изначальную разность между второй и первой коробками. Она равна 
Разность между
третьей и второй коробками равна 
Тогда если в первой коробке после всех операций не оказалось камней, то во
второй и в третьей коробках лежит хотя бы по 1 и 2 камня соответственно, то есть в первых трех коробках есть хотя бы 3
камня.
Если в первой коробке 1 камень, то во второй коробке есть хотя бы 2 камня, то есть количество камней хотя бы 3.
Если в первой коробке 2 камня, то во второй коробке есть хотя бы 3 камня, то есть количество камней в первых трех коробках не меньше 5.
Если в первой коробке есть хотя бы 3 камня, то в первых трех коробках уже точно есть хотя бы 3 камня.
Значит, в четвертой коробке не больше 363 камней.
Покажем, как можно добиться 363 камней ровно. Переложим из третьей коробки 120 камней в четвертую с помощью
операций из пункта а). Получим ситуацию 
Теперь аналогично будем перекладывать по 4 камня из второй коробки в четвертую:
С помощью таких операций переложим 116 камней. Получим ситуацию 
Теперь аналогично будем перекладывать по 4 камня из первой коробки в четвертую:
С помощью таких операций переложим 116 камней. Получим ситуацию 
Окончательно имеем:
а) Да
б) Нет
в) 363
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б), | 2 |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте в) | |
| Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
