.00 №19 из ЕГЭ 2022

а) Попробуем построить пример. Пусть и Тогда условие выполняется.

Положим в третью кучку три камня самого минимального веса, то есть 100 г. Тогда

Во вторую кучку попробуем положить камни так, что бы их суммарный вес был равен 400 г. Для этого нам нужно взять два камня по 200 г, то есть

В третью кучку мы можем положить камень весом в 500 г. Тогда Таким образом, мы получили пример, удовлетворяющий условиям и

б) Попробуем построить пример. Пусть и Число подберем позже, пока будем считать, что оно достаточно большое. Суммарный вес камней в третьей кучке должен быть наименьшим, тогда можем положить в нее камня весом в 100 г. Таким образом, В остальные кучки также положим камни по 100 г. Тогда и

Теперь нужно заменить во второй кучке несколько камней так, чтобы стало больше Сейчас Максимальный возможный вес камня равен 105 г по условию. Тогда если во второй кучке заменим один камень весом в 100 г на камень весом в 105 г, разница уменьшится на 5. Сделаем такую операцию 21 раз. Тогда получим, что то есть

Сейчас и

Теперь нужно заменить в первой кучке несколько камней так, чтобы стало больше Сначала аналогично заменим 21 камень. Тогда значит, Аналогично заменим еще 21 камень в первой кучке, тогда

Значит, если возьмем то получим пример: в первой кучке 42 камня весом 105 г, во второй — 21 камень весом 105 г и 22 камня весом 100 г, в третьей — 44 камня весом 100 г. При этом г, г и г.

в) Заметим, что так как вес камней по условию не меньше 100 г. Если то в каждой кучке будут лежать только камни весом в 100 г, тогда и Так как при этом то Получили противоречие. Следовательно, Построим пример для аналогично предыдущему пункту.

Пусть и Число подберем позже, пока будем считать, что оно достаточно большое. Суммарный вес камней в третьей кучке должен быть наименьшим, тогда можем положить в нее камня весом в 100 г. Таким образом, В остальные кучки также положим камни по 100 г. Тогда и

Теперь нужно заменить во второй кучке несколько камней так, чтобы стало больше Сейчас Максимальный возможный вес камня равен г. Тогда если во второй кучке заменим один камень весом в 100 г на камень весом в 101 г, разница уменьшится на 1. Сделаем такую операцию 101 раз. Тогда получим, что то есть

Сейчас и

Теперь нужно заменить в первой кучке несколько камней так, чтобы стало больше Сначала аналогично заменим 101 камень. Тогда значит, Аналогично заменим еще 101 камень в первой кучке, тогда

Значит, если возьмем то получим пример: в первой кучке 202 камня весом 101 г, во второй — 101 камень весом 101 г и 102 камня весом 100 г, в третьей — 204 камня весом 100 г. При этом г, г и г.