.00 №19 из ЕГЭ 2015

Пусть ое выписанное число имеет вид где Для суммы по всем значениям индекса таким что слагаемое есть этой в сумме, используем обозначение

Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид

Обозначим тогда

После смены мест цифр ое полученное число имеет вид Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид

 

а) Уменьшение суммы в 3 раза равносильно тому, что новая сумма равна что равносильно

Рассмотрим систему

Вычитая из первого уравнения второе, находим, что откуда Подставляя это в первое уравнение системы, находим тогда

Попробуем брать 9 в качестве пока их сумма не превосходит 290 — так можно положить

то есть в сумме 33 слагаемых. Тогда можно положить

б) Уменьшение суммы в 5 раза равносильно тому, что новая сумма равна что равносильно

Рассмотрим систему

Вычитая из первого уравнения второе, находим, что откуда Подставляя это в первое уравнение системы, находим тогда

Так как а все то слагаемых в сумме не более 30, но тогда Следовательно, при не может быть выполнено

в) Пусть сумма полученных чисел равна что равносильно системе

Вычитая из первого уравнения второе, находим, что откуда

Подставляя это в первое уравнение системы, находим

Отсюда в частности следует, что делится на 99.

Покажем, что Действительно, так как все то при не более чем 30 слагаемых сумма исходных чисел не превзойдёт Тогда

Отсюда но делится на 99, тогда

При получим откуда

Аналогично примеру из пункта а) построим решение.

Попробуем брать 9 в качестве пока их сумма не превосходит 293 — так можно положить

то есть в сумме 33 слагаемых. Тогда можно положить

Тогда искомая сумма