19.01 Задачи №19 из ЕГЭ прошлых лет

а) Всего в бочках литра воды. Тогда после переливаний в каждой из бочек должно оказаться по 48 литров.

В первой бочке не хватает литров. Перельем из второй бочки в первую 19 литров. Тогда во второй бочке осталось литров. Теперь в ней не хватает литров.

Перельем из третьей бочки во вторую 35 литров. Тогда в третьей бочке осталось литров. Значит, в ней не хватает литра.

Перельем в третью бочку из четвертой 43 литра, тогда в четвертой останется литров.

Значит, после трех переливаний во всех бочках находится по 48 литров воды, то есть можно не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках.

б) Докажем, что не всегда можно уравнять количество воды во всех семи бочках не более чем за пять переливаний.

Если всего в бочках литров воды, но в шести из них меньше литров, то в каждую из этих шести бочек нужно добавить некоторое количество воды, то есть понадобится не меньше шести переливаний. Такая ситуация возможна, если в шести бочках по одному литру воды, а в седьмой — 8 литров.

Тогда после переливаний в каждой из бочек должно быть по литра воды. Значит, в каждую из шести бочек нужно добавить по одному литру воды, то есть сделать хотя бы шесть переливаний.

в) Докажем, что не всегда можно уравнять количество воды во всех 26 бочках не более чем за 24 переливания.

Если всего в бочках литров воды, но в 25 из них меньше литров, то в каждую из этих 25 бочек нужно добавить некоторое количество воды, то есть понадобится не меньше 25 переливаний.

Докажем, что 25 переливаний точно хватит. Пусть во всех бочках литров воды. Если в каждой бочке по литров, то переливать ничего не нужно. Пусть есть бочка, в которой меньше литров воды. Значит, есть бочка, в которой больше литров, иначе общее количество воды меньше литров.

Будем переливать в первую бочку из второй столько воды, чтобы в первой стало ровно литров. Значит, мы потратили одно переливание и увеличили количество бочек, в которых ровно литров воды, на один.

Тогда после 25 таких переливаний количество бочек, в которых находится ровно литров воды, не меньше 25. Значит, в оставшейся 26-ой бочке тоже литров воды.

а) По условию задачи числа в каждой паре должны выглядеть как и . Тогда сумма чисел в каждой делится на 4. Значит, сумма всех выбранных чисел делится на 4. Но 170 на 4 не делится — противоречие.

Значит, сумма всех чисел, выбранных так, что в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого, не может равняться 170.

б) Если , то были взяты все числа. Найдем сумму всех чисел. Для этого вспомним формулу суммы первых натуральных чисел:

Значит, сумма наших чисел равна

Теперь посчитаем сумму чисел по парам. По условию сумма чисел в каждой паре не больше 27 и все суммы различны. Тогда оценим максимальную возможную сумму чисел. Для этого возьмём 11 максимальных различных сумм, которые могли получиться:

Заметим, что , то есть максимальная возможная сумма по парам меньше, чем сумма всех чисел. Значит, .

в) По предыдущему пункту . Значит, наибольшее возможное не больше 10. Приведем пример для :

Пусть критики выставили оценки тогда искомая разность равна

а) Если разность равна то

Следовательно,

Так как все оценки экспертов — целые числа, то слева находится целое число, но число нецелое, значит, такой ситуации не могло возникнуть.

б) Если разность равна то

Следовательно,

Нужно подобрать 7 таких различных целых чисел. Подойдут, например, числа

Тогда разность рейтингов равна

в) Заметим, что так как все оценки различны. Значит, так как все оценки — целые числа. Тогда разность рейтингов равна

По предыдущему рассуждению можно понять, что такая разность достигается, когда оценки критиков равны

Тогда разность рейтингов равна

а) Пусть число , где – число сотен, десятков и единиц соответственно, следовательно, они могут принимать целые значения от до (только не может быть равно ).

Предположим, что

Пусть , откуда, так как – цифры, то и . Тогда , следовательно, , откуда . Таким образом, получили число .
Проверкой убеждаемся, что действительно .
Ответ: да.

б) Предположим, что

Следовательно, делится на , следовательно, его можно представить в виде , где – некоторое натуральное число и . Заметим, что так как – трехзначное число, то , откуда .

Из того, что делится на , можно сделать вывод, что делится на . Следовательно, сумма его цифр должна делиться на . Но так как сумма его цифр равна , а , то . Следовательно, . Но у числа сумма цифр не равна , следовательно, не подходит. Так как это был единственный возможной вариант, то ответ: нет.

в) Рассмотрим .

Попробуем поискать наименьшее трехзначное число с наибольшей суммой цифр. Значит, в нем должно быть мало сотен и много десятков и единиц. Возьмем . Сумма его цифр равна и оно нацело делится на нее, в результате чего получаем .
Докажем, что – наименьшее натуральное частное от деления числа на сумму его цифр.

Предположим противное. Пусть частное от деления на равно , где – натуральное число. Тогда:

Так как число сотен не может быть равно нулю, то . Так как , то , следовательно, . Так как , то , следовательно, вся левая часть равенства .

Так как число единиц не может быть больше , то есть , и , то .

Следовательно, в нашем равенстве левая часть , а правая . Следовательно, равенство не имеет решений.
Значит, предположение неверно и – наименьшее натуральное значение для частного трехзначного числа и суммы его цифр.

Пусть дано трёхзначное число Тогда его сумма сумма цифр равна

а) Если частное числа и его суммы цифр равно 12, то

Так как и — цифры, то числа и целые. Значит, либо кратно 11, либо Оба варианта возможны только при Тогда

Рассуждения выше можно не писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

Частное трёхзначного натурального числа и суммы его цифр может быть равным 12. Например, это верно для числа 108:

б) Пусть возможно такое, что частное числа и его суммы цифр равно 87, тогда

Оценим Так как то

Тогда либо и либо и Но ни 77, ни 86 не кратно 13, поэтому частное числа и его суммы цифр не может равняться 87.

в) Пусть где — натуральное. Тогда

Оценим значения и Так как и то имеем

Таким образом, Тогда наименьшее возможное Проверим, достигается ли это значение. При получаем следующее равенство:

Оно выполняется при и

Значит, наименьшее возможное натуральное значение частного числа и суммы его цифр равно 11.

Так как последовательность состоит из различных натуральных чисел, можем считать, что последовательность возрастающая.

Сумма первых членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью равна

а) Попробуем построить пример. Будем рассматривать суммы нескольких первых натуральных чисел. Заметим, что Тогда Значит, сумма чисел, описанных в условии, может равняться 14.

Рассуждения выше не нужно писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

Да, например, арифметическая прогрессия, состоящая из чисел 2, 3, 4 и 5, подойдет, так как сумма данных чисел равна

б) Заметим, что и так как числа в последовательности натуральные. Значит,

Мы получили такое неравенство:

Заметим, что

Значит, максимальное значение

Действительно, сумма членов последовательности 1, 2, …, 41 меньше 900:

в) В предыдущем пункте мы показали, что

По условию сумма членов последовательности равна 123, значит,

Заметим, что

Значит,

Значит, при этом следовательно, или

Если то

Возьмем и Тогда пример для

Их сумма равна

Если то

Пусть Тогда Пример для

Их сумма равна

а) Чтобы в результате перемножения сумм получился 0, один из множителей должен быть равен 0, то есть сумма двух чисел на карточке должна равняться 0. Но для этого у нас в изначальном наборе должны быть два числа, противоположные по знаку. Таких чисел нет, значит, произведение сумм не могло равняться 0.

б) Чтобы в результате перемножения сумм получилась 1, все делители должны равняться 1 или -1. То есть числа на каждой карточке должны отличаться по модулю на 1, при этом они должны быть противоположны по знаку.

Тогда в пару к -11 подходит только 10. Аналогично для -11 на обратной стороне, значит, числа -11 и 10 мы больше не можем использовать на других карточках.

В пару к 9 подходит только -8. Аналогично для 9 на обратной стороне, то есть числа 9 и -8 мы использовали уже по два раза. Но тогда в пару к 7 мы не можем поставить ни одно число, так как в нашем наборе отсутствует число -6. Значит, произведение сумм не может равняться 1.

Здесь показано, как можно решить данный пункт методом перебора, в пункте в) доказано, почему произведение сумм не может равняться нечетному числу.

в) Заметим, что изначально нам дан набор из 4 четных и 6 нечетных чисел. Это значит, что не получится написать числа на карточках так, чтобы все суммы были нечетными, так как для получения нечетной суммы нужно сложить четное число и нечетное, а их у нас неравное количество. Значит, хотя бы один множитель будет четным, следовательно, все произведение сумм будет четным. Значит, оно не может равняться никакому нечетному числу.

В пункте а) мы доказали, что произведение сумм не может равняться 0. По рассуждению выше оно не может равняться 1. Посмотрим, может ли произведение сумм равняться 2.

Заметим, что 2 можно получить, только перемножая и так как 2 — простое число. Всего мы перемножаем десять сумм, значит, ровно одна из них должна быть четной, то есть равняться а остальные 9 должны быть нечетными. Сумма на карточке может быть нечетным числом только тогда, когда с одной стороны написано четное число, а с другой — нечетное. Всего на карточках записано 8 четных чисел, следовательно, нечетных сумм может быть не больше 8. Противоречие. Значит, произведение сумм не может равняться 2. Также оно не может равняться 3, так как это нечетное число.

На 4 есть пример, который можно построить с помощью предыдущих рассуждений:

Первое число в скобках является числом на передней стороне, а второе — числом на обратной стороне карточки.

Проверим произведение:

Значит, наименьший целый неотрицательный результат, который может получиться, равен 4.

Обозначим суммы в группах через , а сумму полученных модулей из условия обозначим как

Пусть, не умаляя общности, Тогда из упорядочивания модули раскрываются однозначно и имеем сумму:

а) Имеем

Заметим, что

Нетрудно понять, что достигается только при и следовательно

Сумма всех данных чисел равна 78, а значит, сумма чисел в каждой группе равна но это число нецелое, а сумма в каждой группе должна быть целой — противоречие. То есть 0 в результате получиться не мог.

б) Имеем

Заметим, что оба слагаемых в скобках неотрицательны, а первое слагаемое кратно 3, значит, иначе будем минимум 3, а мы хотим 1. Но из того, что следует По пункту а) такое невозможно. То есть число 1 в результате получиться не могло.

в) По предыдущим пунктам понятно, что равно хотя бы 3. Тогда попробуем найти пример для Поскольку невозможно, то так как рассматриваем вариант Тогда иначе сумма будет больше чем 3.

Пусть Тогда возможны два случая:

• 
• 

В обоих случаях получаются нецелые числа, значит, быть не могло.

Если же то и значит,

Отсюда строим пример:

Получить эти суммы можно так:

Тогда наименьшее значение суммы модулей равно 4.

а) По условию из пары получается пара Тогда можем записать систему уравнений:

Рассуждения выше можно не писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

Из пары получится пара

б) Да, пусть пара получается из пары то есть и Тогда из пары получится пара

в) Заметим, что сумма двух чисел в паре, полученной из пары равна

то есть делится на 4. При этом

Поэтому если — пара, полученная из пары то имеем:

Таким образом,

откуда расстояние хотя бы

Приведём пример на Пара получается из пары

При этом от пары она находится на расстоянии