Тема 18. Задачи с параметром

18.23 Графика. Окружность

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#11753Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ 2 2 (x − a) + y = 1 ( y = |x − 3|+ 12

имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение. Оно задает окружность в системе координат $xOy$ с центром в точке $O (a;0)$ и радиусом 1. Другими словами, это семейство окружностей с радиусом 1 и центром в произвольной точке прямой $y = 0$ (то есть оси абсцисс).

Второе уравнение задает «уголок» модуля с ветвями вверх и вершиной в точке $( ) 3; 1 . 2$ Левая ветвь содержится в прямой $y = − x+ 3,5,$ правая — в прямой $y = x− 2,5.$

Построим графики.

$PIC$

Заметим, что если окружность с центром в точке $(a0;0), a0 ≤ 3$ нам подходит (то есть имеет ровно одну точку пересечения с уголком), то и окружность, симметричная ей относительно прямой $x= 3$ (эта прямая — ось симметрии уголка) с центром в точке $(3+ 3− a0;0)= (6− a0;0)$ нам тоже подойдет. Более того, очевидно, что никакие другие окружности не подойдут. Осталось понять, при каких $a0 ≤ 3$ (то есть центр не правее оси симметрии) окружность имеет ровно одну точку пересечения с левой веткой уголка. Часть решения ниже, выделенная курсивом, нужна исключительно для неформального понимания задачи, на экзамене так писать не следует.

Представим нашу ситуацию следующим образом. У нас есть окружность фиксированного радиуса, центр которой «скользит» по оси абсцисс. Давайте двигать окружность из $− ∞$ вправо до тех пор, пока она не «упрется» в уголок (или, другими словами, пока не соприкоснется с уголком). В этот момент окружность либо будет касаться (прямая будет касательной к окружности) левой ветки уголка, либо «упираться» в точку — вершину уголка (при этом прямая не будет являться касательной к окружности!).

$PIC$ $PIC$

Во втором случае момент касания с прямой происходит раньше, чем момент касания с уголком (и только при движении дальше вправо мы упираемся в вершину уголка), так как касание происходит в точке, принадлежащей продолжению прямой (пунктирная часть).

Найдем положение касания с окружности с прямой $f(x) = −x+ 3,5,$ содержащей левую ветвь уголка. Если точка касания окружности и прямой будет лежать левее вершины уголка (т.е. координата точки касания по оси $Ox$ не больше, чем 3) — реализовалась первая ситуация, в противном случае реализовалась вторая.

Радиус окружности равен единице, значит, в моменте касания центр окружности лежит на расстоянии 1 от прямой $f.$ Построим прямую $g$ левее $f,$ параллельную $f,$ на расстоянии 1 от $f.$ Искомое положение окружности возникает, когда центр окружности попадает в точку $O 1$ пересечения прямой $g$ и оси абсцисс, по которой движется центр.

$PIC$

Пусть $M (3,5;0)$ — точка пересечения $f$ с осью абсцисс, $K1$ — точка касания окружности и прямой $f.$ $O1K1 ⊥ f$ и равен расстоянию между прямыми — это 1 по построению. $∠K1MO1 = ∠MO1K1,$ так как коэффициент при $x$ равен $− 1.$ Тогда в полученном равнобедренном прямоугольном треугольнике $√- O1M = 2$ и координата по $x$ точки $O1$ равна $√ - 3,5 − 2,$ а координата по $x$ точки касания равна $√- 3,5 − 22.$ Легко проверить, что это меньше, чем 3 — координата по $x$ вершины уголка и оси симметрии, значит, реализована первая ситуация (касание с левой веткой). Итого нам подходит $√- a= 3,5− 2,$ которому соответствует положение $O1$ центра, а также $√ - a = 2+ 2,5,$ которому соответствует симметричное относительно оси положение центра — $O2.$

Таким образом, $a ∈{3,5− √2;√2-+ 2,5}$

$PIC$

Ответ:

${ √ -√ - } a ∈ 3,5− 2; 2+ 2,5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованное построение	3
ИЛИ
недостаточно обоснован какой-либо момент при исследовании	3

Верно рассмотрен один из двух случаев и найдено одно из значений параметра $a$	2
ИЛИ
верно проанализированы оба случая, но в ходе решения значения параметров найдены неверно

Задача верно сведена к исследованию графически, выполнено верное построение с обоснованием	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#16969Максимум баллов за задание: 4

Найдите все $a$ , при которых уравнение

∘ ------2--- ∘----------2---2 a+ 6x − x − 8 = 3 + 1 + 2ax− a − x

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Обозначим черех $y$ значение каждой из частей уравнения. Тогда оно эквивалентно системе

$pict$

Первая подсистема задает часть окружности с центром $(3;a)$ и радиусом 1, лежащую не ниже прямой $y = a$ . Фактически это верхняя полуокружность такой окружности, т.к. горизонтальная прямая $y = a$ всегда проходит через ее центр. Центры всех таких полуокружностей лежат на горизонтальной прямой $x = 3$ .

Вторая подсистема задает часть окружности с центром $(a;3)$ и радиусом 1, лежащую не ниже прямой $y = 3$ . Фактически это верхняя полуокружность такой окружности, т.к. горизонтальная прямая $y = 3$ всегда проходит через ее центр. Центры всех таких полуокружностей лежат на вертикальной прямой $y = 3$ .

$PIC$

Синее положение достигается при $a = 3$ , полуокружности совпадают. Увеличение $a$ на положительное число $t$ соответствует сдвигу одной полуокружности на $t$ вверх, а другой вправо. При уменьшении $a$ аналогично вниз и влево.

Крайние положения, в которых еще есть точка пересечения, достигаются при сдвиге на $− 1$ и $+ 1$ относительно $a = 3$ , то есть при $a = 2$ и $a = 4$ .

При $a > 4$ зеленая полуокружность будет целиком лежать выше прямой $y = 4$ , а значит, гарантированно не будет иметь точек пересечения с красной полуокружностью.

При $a < 2$ зеленая полуокружность будет целиком лежать ниже прямой $y = 3$ , а значит, гарантированно не будет иметь точек пересечения с красной полуокружностью.

В любом положении между крайними, кроме синего, будет одна точка пересечения. Действительно, все такие точки пересечения будут лежать на отрезке между точками $(3;3)$ и $(4;4)$ . Получаем $a ∈ [2;3)∪(3;4]$ .

Ответ:

$[2;3)∪(3;4]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#32717Максимум баллов за задание: 4

Найдите все $b$ , для каждого из которых найдется такое $a$ , что система

(| 3 {x =|y− b|+ b |(x2+ y2+32 =a(2y− a)+ 12x

имеет хотя бы одно решение $(x;y)$ .

Показать ответ и решение

Исходная система имеет решения, если новая система (где поменяны местами переменные $x$ и $y$ )

(| 3 {y = |x− b|+ b |(y2+ x2+32 =a(2x− a)+ 12y

также имеет решения.

Первое уравнение задает уголок, который строится последовательно следующим образом:

$сдвигна|b|единицвлево/вправо сдвигна|3b| единицвверх/вниз 3 |x|−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ |x− b|−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ |x&$

Вершина уголка $x0 = b$ , $3 y0 = b$ , следовательно, она движется по гиперболе $-3 y0 = x0$ .

Второе уравнение при фиксированном $a$ задает окружность:

(y− 6)2+ (x− a)2 = 4

Центр этой окружности $O(a;6)$ , а радиус $R =2.$ Следовательно, при изменении $a$ центр окружности движется по прямой $y =6$ . Значит, при всех $a ∈ℝ$ это уравнение задает полосу $4≤ y ≤ 8$ . Таким образом, нам необходимо, чтобы уголок находился в таком положении, когда существует хотя бы одна точка пересечения уголка с этой полосой (тогда существует хотя бы одна окружность, с которой уголок имеет общие точки). На рисунке розовым цветом обозначено граничное положение уголка, выше которого общих точек с полосой нет, а фиолетовым — промежуточные положения, когда общие точки имеются:

$PIC$

Заметим, что если вершина уголка находится на ветви гиперболы, находящейся в III четверти, то уголок всегда пересекает полосу. Это задается условием $x0 =a <0$ . Если же вершина уголка находится на ветви, лежащей в I четверти, то требуется найти розовое граничное положение, когда вершина уголка лежит на верхней границе полосы, то есть в точке пересечения гиперболы $y = 3x$ и прямой $y =8 :$

(|{ 3 (|{ 3 y = x ⇔ x= 8 |(y =8 |( y = 8

Таким образом, при $x0 = a≥ 38$ уголок имеет общие точки с полосой. Следовательно, ответ $a< 0$ или $a ≥ 38.$

Ответ:

$a ∈(−∞;0)∪ [3;+∞ ) 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#49656Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( {y = |x− a|+ a2 ( 2 2 x + (y− 2) = 2

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Будем решать задачу графически. Графиком первого уравнения является уголок, получаемый из графика функции $y =|x|$ (вершина которого находится в точке $(0;0)$ ) сдвигом на $|a|$ единиц вправо, если $a> 0,$ и влево, если $a< 0,$ а затем сдвигом на $a2$ единиц вверх. Следовательно, координаты вершины уголка $y = |x− a|+ a2$ — это $x0 = a,$ $y0 = a2.$ Тогда между этими координатами следующая зависимость: $y0 = x20.$ Это значит, что парабола $y =x2$ является траекторией движения вершины уголка.

Графиком второго уравнения является окружность с центром в точке $O (0;2)$ радиуса $√- R = 2.$

Система имеет единственное решение, если ровно одна из ветвей уголка касается окружности, а вторая ветвь не имеет с окружностью общих точек.

Заметим, что окружность и парабола симметричны относительно оси ординат, следовательно, если $a≥ 0$ и вершина уголка находится в первой четверти, то если левая ветвь уголка касается окружности при $a = a0,$ тогда при $a = −a0$ (когда вершина уголка находится во второй четверти) правая ветвь касается окружности. Значит, достаточно рассмотреть только случай $a ≥0.$

$PIC$

Пусть $a ≥ 0.$

Левая ветвь (назовем ее $l$ ) уголка задается уравнением $yl = −x + a+ a2,$ или $x +yl− a− a2 = 0,$ $x ≤ a.$ Запишем условие касания луча $l$ и окружности через формулу расстояния от точки до прямой: если прямая $p$ задана уравнением $Ax + By+ C = 0,$ то расстояние от точки $O(x0;y0)$ до нее вычисляется по формуле

|Ax0 +By0 + C| ρ(O,p)= --√A2-+-B2---

Заметим, что при использовании этого способа найденные $a$ требуют проверки, так как это условие задает касание прямой и окружности, а не луча и окружности.

В случае касания левой ветви $l$ и окружности расстояние от центра окружности до $l$ должно быть равно радиусу окружности:

ρ(O, l)= R ⇔ 2 |0-+√-2−-a−-a| =√2- ⇔ 12+ 12 2 |a + a− 2|= 2 ⇔ ⌊ a2 +a = 0 ⌈ ⇔ a2 +a − 4= 0 ⌊ a= 0 || ||⌈ a= −1 √ -- a= −1-±--17 2

Так как мы рассматриваем случай $a ≥0,$ то нам подходят лишь $−-1+√17 a = 0; 2 .$ Но при $a= 0$ вершина уголка находится в точке $(0;0)$ (см.рис.), следовательно, уголок, как и окружность, симметричен относительно оси ординат, значит, если есть точка касания уголка и окружности в первой четверти, то есть и точка касания во второй четверти. Следовательно, при $a= 0$ уголок и окружность имеют две общие точки, что нам не подходит. Тогда остается только одно значение параметра $−1+√17 a= a0 = 2 ,$ что соответствует рисунку.

Значит, как говорилось выше, если $a< 0$ и вершина уголка находится во второй четверти, то правая ветвь касается окружности при $√-- a =− a0 = − −-1+217.$

Следовательно, ${ 1−-√17-−-1+-√17} a∈ 2 ; 2 .$

Ответ:

${ √-- √--} a ∈ 1−--17; −-1+-17 2 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3

Получено верно одно из двух значений параметра $a$	2
ИЛИ
Значения параметра найдены верно, но также в ответ записаны лишние значения параметра $a$ $(a= 0,$ $a= −1)$

Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#49657Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( {y = 2|x − |a||− 2a2 ( 2 ( √ -)2 x + y + 5 ≤ 1

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Будем решать задачу графически. Графиком уравнения является уголок, получаемый из уголка $y = 2|x|$ (вершина которого находится в точке $(0;0)$ ) сдвигом на $|a|$ единиц вправо и на $2 2a$ единиц вниз. Следовательно, вершина уголка $y = 2|x− |a||− 2a2$ — это точка с координатами $x0 = |a|$ и $y0 = −2a2.$ Тогда зависимость между этими координатами следующая: $y0 =− 2x20,$ причем заметим, что $x0 ≥0.$ Следовательно, правая ветвь параболы $y = − 2x2$ (то есть часть параболы при $x ≥0$ ) — траектория, по которой движется вершина уголка $2 y = 2|x− |a||− 2a .$

Графиком неравенства является круг (то есть окружность с внутренностью) с центром в точке $√ - O(0;− 5)$ радиуса $R = 1.$

Система имеет единственное решение, когда уголок и круг имеют ровно одну общую точку, то есть одна из ветвей уголка касается окружности $2 √- 2 x + (y+ 5) = 1,$ а вторая не имеет с окружностью общих точек.

Изобразим графики.

$PIC$

Заметим, что только левая ветвь (назовем ее лучом $l$ ) уголка может касаться окружности. Ветвь $l$ задается уравнением $y = −2x +2|a|− 2a2, l$ или же $2 2x +yl− 2|a|+ 2a = 0,$ $x≤ |a|.$ Запишем условие касания луча $l$ и окружности через формулу расстояния от точки до прямой: если прямая $p$ задана уравнением $Ax + By+ C = 0,$ то расстояние от точки $O(x0;y0)$ до нее вычисляется по формуле

ρ(O,p)= |Ax0√+-By0-+C-|. A2 + B2

ρ(O, l)= R ⇔ |−-√5−-2|a|+-2a2| √22-+12- = 1 ⇔ |2a2− 2|a|− √5|= √5- ⇔ ⌊ 2 ⌈ 2a − 2|a|=√-0 ⇔ a2− |a|− 5= 0 ⌊ a= 0 || || a= ±1 |⌈ ∘1--+4√5-+ 1 a= ±------2-----

Заметим, что $a = 0$ не подходит, так как в этом случае точка касания $L$ находится не на луче $l$ (задаваемом уравнением $yl = −2x,x≤ 0$ ), а на его продолжении за вершину уголка, то есть на луче $y = −2x$ при $x > 0,$ а эти точки не принадлежат уголку $y = 2|x|,$ что видно из рисунка:

$PIC$

Следовательно, ответ:

{ ∘1-+-4√5+ 1 ∘1-+-4√5+ 1} a∈ − -----2-----;−1;1;-----2------ .

Ответ:

${ ∘ ----√-- ∘ ----√-- } --1+-4--5+-1 --1+-4--5+-1 a ∈ − 2 ;− 1;1; 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#70244Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система уравнений

{ √---2------- y = − x − 6x − 8 y +ax = a+ 1

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Рассмотрим систему внимательнее и преобразуем её условия:

{y2 = (√ −x2−-6x−-8)2,y ≥0 y = −ax+ a +1

{ 2 2 y +x +6x +8 = 0,y ≥0 y = −a(x− 1)+ 1

{ 2 2 y +x + 6x +8 +1 = 0+ 1,y ≥0 y = −a(x− 1)+ 1

{y2 + (x +3)2 = 1,y ≥ 0 y = −a(x− 1)+ 1

Получили полуокружность и пучок прямых, проходящих через точку $(1;1).$ Перейдём на координатную плоскость $xOy :$

1 случай:

$PIC$

При $a= 0$ прямая $y = − a(x − 1)+ 1$ становится параллельной оси абсцисс и проходит ровно через одну точку $C$ полуокружности. Иными словами, $OC$ касается полуокружности – такой случай нам подходит и $a =0$ – часть ответа.

2 случай:

$PIC$

Когда $a∈ [− 13;− 15)$ прямая $y = −a(x− 1)+ 1$ пересекает полуокружность ровно в одной точке. Иными словами, мы берём в ответ все прямые, лежащие между прямыми $AO$ и $BO$ , включая $AO$ и исключая $BO$ . $BO$ пересекает полуокружность уже в двух точках.

Вычисления ключевых значений параметра:
Прямая $CO$ (проходит через точку $C(−3;1)$ ):

1 = −a(−3− 1)+ 1,

a= 0.

Прямая $AO$ (проходит через точку $A(− 2;0)$ ):

0 = −a(−2− 1)+ 1,

a= − 1. 3

Прямая $BO$ (проходит через точку $B (− 4;0)$ ):

0 = −a(−4− 1)+ 1,

a= − 1. 5

Ответ:

$a ∈ [− 1;− 1) ∪{0} 3 5$ .

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но решение недостаточно обосновано	3
ИЛИ
в ответ включена точка $− 15$
ИЛИ
потеряна точка $− 1 3$
ИЛИ
потеряна точка $0$

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения	2
ИЛИ
полученный ответ отличается от правильного включением/исключением двух или трёх точек из набора $− 13,− 15,0$

В случае аналитического решения найдено значение $a = 0$	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#77632Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( { (x2 +y2 − 2y)√y-+0,5x= 0 ( y = 2(x+ a)

имеет ровно два различных решения.

Показать ответ и решение

Перепишем систему в виде

⌊ (|| x2+ (y− 1)2 = 1 ||||⌈ { y = − 0,5x |||y ≥ −0,5x |||( y = 2x+ 2a

Первое уравнение задает окружность с центром в точке $O(0;1)$ и радиусом $R = 1.$ Второе уравнение задает прямую. Пусть окружность с прямой пересекаются в точках $A$ и $B.$ Тогда нам необходимо, чтобы прямая $y = 2x + 2a$ имела ровно две общие точки со множеством $S,$ где $S$ — объединение прямой $y = −0,5x$ и верхней дуги $AB$ окружности.

$PIC$

Нам подходят положения 1 и 4, а также все положения между 2 и 3, включительно 2 и 3.

Найдем $a1$ и $a4.$ Они соответствуют положениям 1 и 4 соответственно, когда прямая $y = 2x+ 2a$ касается окружности. Тогда расстояние от точки $O$ до этой прямой равно радиусу окружности. Прямую для использования формулы расстояния от точки до прямой следует переписать в виде $2x − y +2a = 0.$

√ - 1= R = |2-⋅0√-− 1-+2a| ⇔ a = ±--5+-1 22+ 12 2

Следовательно, $− √5+ 1 a1 =---2---,$ $√5 +1 a4 =--2--.$

Найдем $a2$ и $a3,$ соответствующие положениям 2 и 3 соответственно, когда прямая $y = 2x+ 2a$ проходит через точки $A$ и $B.$ Найдем для начала координаты этих точек. Для этого решим систему:

⌊( { x= 0 ( ||( { x2+ y2− 2y = 0 ||( y = 0 ( ⇔ |||||{ x= − 4 y = −0,5x |⌈ 5 ||( y = 2 5

Следовательно, $A(0;0),$ $B (− 4; 2) . 5 5$ Следовательно, для положения 2 имеем $0 =0 + 2a ⇔ a= 0.$ Для положения 3 имеем $2 8 5 = −5 +2a ⇔ a= 1.$

Таким образом, ответ

{ ±√5 +1 } a∈ ---2--- ∪ [0;1]

Ответ:

${ √ - } a ∈ ±--5+-1 ∪[0;1] 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра $a,$ но в обосновании есть недостаток	3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения	2
ИЛИ
верно рассмотрены два положения из четырех

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#84773Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ ( 2) ( 2 2) log4 1 − y = log41 − a x (x2+ 4y2 = 5x+ 4y

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГКР 5 апреля 2024

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы:

2 2 (x− 2,5) + (2y − 1) = 7,25

Рассмотрим первое уравнение системы:

{ y = ±ax −1< y <1

Если сделать замену $t= 2y,$ то система равносильна

( |{t =±2ax |− 2< t< 2 ((x − 2,5)2+ (t− 1)2 = 7,25

В системе координат $xOt$ первое уравнение задает две прямые, проходящие через точку $(0;0)$ и симметричные относительно оси ординат. Второе уравнение задает окружность с центром в точке $(2,5;1)$ и радиусом $√ ---- 7,25,$ проходящую через точку $(0;0).$ Необходимо, чтобы две прямые $t= 2ax$ и $t= −2ax$ имели две точки пересечения с той частью окружности, что находится в области $− 2 < t< 2.$

Изобразим графики:

$xt(((123)))$

Пусть $a ≥ 0.$ Тогда если $a =a0$ является решением задачи, то $a =− a0$ также является решением задачи.

Заметим, что при любом $a$ прямые $t= −2ax$ и $t= 2ax$ пересекаются с окружностью в начале координат, то есть одно решение система имеет всегда.

Рассмотрим положение (1): прямая $t= − 2ax$ касается окружности в точке $(0;0).$ Тогда система имеет одно решение. Но все прямые, находящиеся между осью ординат и прямой $t= −2ax,$ имеют две точки пересечения с окружностью в области $− 2 <t <2.$ А прямая $t= 2ax,$ в свою очередь, не имеет общих точек с этой частью окружности (кроме повторяющейся точки $(0;0)$ ). Следовательно, если $a1$ — параметр, соответствующий положению (1), то нам подходят все $a > a1.$

Рассмотрим положение (2): прямая $t= 2ax$ проходит через точку $(5;2).$ Так как эта точка выколота, то обе прямые в совокупности имеют две общие точки с частью окружности в области $− 2< t< 2.$ Значит, все положения прямых между положениями (1) и (2), включая (2), нам подходят. То есть если $a2$ — параметр, соответствующий положению (2), то нам подходят $a2 ≤ a < a1.$

Рассмотрим положение (3): прямые $t= −2ax$ и $t= 2ax$ совпадают и дают прямую $t= 0,$ которая имеет с частью окружности две общие точки. Следовательно, это положение нам тоже подходит. Сразу можно заметить, что оно получается при $a = 0.$

Найдем $a1 :$ система должна иметь единственное решение $x= 0:$

{ { t =− 2ax t= − 2ax x2 +t2 = 5x+ 2t ⇒ x((1+ 4a2)x− (5− 4a)) =0

Тогда второе уравнение системы имеет единственное решение $x= 0,$ откуда получаем

5 5− 4a= 0 ⇔ a= a1 = 4

Найдем $a : 2$

2= 10a ⇔ a= 1 5

Следовательно,

[ ) ( ) |a|∈ {0}∪ 1; 5 ∪ 5;+∞ 5 4 4

Тогда окончательно получаем

( ) ( ] [ ) ( ) a∈ − ∞;− 5 ∪ − 5;− 1 ∪{0}∪ 1; 5 ∪ 5;+∞ 4 4 5 5 4 4

Ответ:

$( ) ( ] [ ) ( ) a ∈ −∞; − 5 ∪ − 5 ;− 1 ∪ {0}∪ 1; 5 ∪ 5;+∞ 4 4 5 5 4 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованное построение/недостаточно обоснован какой-то момент при исследовании	3
ИЛИ
ответ отличается от верного невключением граничной точки

Верно найдены граничные значения, но переход к ответу или не выполнен, или найден неверно	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически и выполнено верное построение с обоснованием	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#86179Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

( { y2− x2+ x− 3y+ 2= 0 ( 2 2 2 x + y − 2a(x +y)− 2y− 2a + 8a− 1≤ 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство системы:

(x− a)2 +(y− a− 1)2 ≤ 2(a − 1)(2a− 1)

Сделаем замену $y − 1= t.$ Тогда уравнение системы примет вид

t2− t− x2+ x= 0 ⇔ (t− x)(t+ x− 1)= 0

Следовательно, вся система будет выглядеть следующим образом:

(⌊ || t= x |{⌈ || t= 1− x |((x − a)2+ (t− a)2 ≤ 2(a− 1)(2a− 1)

Так как замена $t= y− 1$ линейная, то множество значений параметра, при которых новая система имеет одно решение, совпадает со множеством значений параметра, при которых исходная система имеет одно решение.

Перейдем к системе координат $xOt.$ Тогда при $2(a− 1)(2a− 1)> 0$ неравенство системы задает круг с центром в точке $(a;a),$ которая перемещается по прямой $t= x,$ и радиусом $∘ ------------- 2(a − 1)(2a− 1).$ При $2(a− 1)(2a − 1)= 0$ это неравенство задает точку $(a;a),$ а при $2(a − 1)(2a − 1) <0$ — пустое множество. Следовательно, нам необходимо рассмотреть два случая: $2(a− 1)(2a− 1)= 0$ и $2(a− 1)(2a− 1)> 0.$

1) Пусть $2(a− 1)(2a − 1)= 0,$ то есть $a= 1;1. 2$ Тогда при любом из этих двух значений параметра неравенство задает точку, лежащую на прямой $t= x,$ следовательно, система имеет единственное решение. Значит, $1 a= 2;1$ нам подходят.

2) Пусть $2(a− 1)(2a − 1)> 0.$ Изобразим для произвольного $a= a0,$ удовлетворяющего этому неравенству, график, задающийся нашей системой:

$xtttaaBA== x1− x 00$

Заметим, что при любом $a,$ удовлетворяющем $2(a − 1)(2a− 1)> 0,$ мы будем получать круг, который всегда будет иметь общие точки с данным двумя пересекающимися прямыми. Это как минимум отрезок $AB,$ являющийся диаметром этого круга и лежащий на прямой $t= x.$ Следовательно, решений будет бесконечно много, что нам не подходит.

Значит, итоговый ответ

a∈ {0,5;1}

Ответ:

$a ∈{0,5;1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#33050Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

(| 2 2 (3x+ 4y+ a) |{ (x + y + 6x)⋅ln ----20---- = 0 ||( 2 2 2 2 (x + y + 6x)(x +y − 12x) =0

имеет два различных решения $(x;y)$ .

Показать ответ и решение

Система имеет вид

⌊ ( || A(= 0 {AB = 0 ⇔ || {B =0 (AC = 0 ||⌈ (C =0 ОДЗ

Следовательно, нашу систему можно преобразовать:

⌊ (x +3)2+ y2 =32 ||| ({ || (3x+ 4y+ a= 20 |⌈ (x− 6)2+ y2 = 62 3x+ 4y +a> 0

Заметим, что окружности $c :(x+ 3)2 +y2 = 32$ и $d:(x − 6)2+y2 =62$ пересекаются в начале координат, причем эта их единственная общая точка, то есть это точка касания.

Таким образом, полученная совокупность будет иметь два решения, если окружность $c$ не лежит в области $3x +4y+ a> 0$ , а окружность $d$ имеет две точки пересечения с прямой $3x +4y+ a= 20$ (говорить о том, что эти точки должны лежать в области $3x+ 4y+ a> 0$ не нужно, так как прямая $3x+ 4y+ a= 20$ выше прямой $3x+ 4y+ a= 0$ ).

На рисунках изображены два граничных положения, находясь между которыми, прямая $3x +4y+ a= 20$ имеет с окружностью $d$ две точки пересечения, а окружность $c$ не лежит в закрашенной области.

Рис. 1: граница области $3x+4y+ a= 0$ касается окружности $c$ в точке $Kc$ . Таким образом, расстояние от центра окружности до этой прямой равно радиусу окружности, причем $a$ следует выбрать меньшее (касание в верхней части окружности, свободный коэффициент прямой $y =− 34x− 14a$ наибольший).

$PIC$

|3x+-4y+a|- |a− 9| 3= CKc = √32+-42 |x=−3, y=0 ⇔ 3= 5 ⇔ a= 9±15

Выбираем $a= −6.$

Рис. 2: прямая $3x+ 4y +a =20$ касается окружности $d$ в точке $Kd$ . Таким образом, расстояние от центра окружности до этой прямой равно радиусу окружности, причем $a$ следует выбрать меньшее.

$PIC$

6=DK = |3x+√4y-+a−-20|| ⇔ 6 = |a−-2| ⇔ a= 2± 30 d 32+42 x=6, y=0 5

Выбираем $a= −28.$

Следовательно, ответ $− 28< a≤ −6.$

Ответ:

$a ∈(−28;− 6]$