Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Отношение площадей поверхностей и отношение объемов тел

Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)

3.16 Отношение площадей поверхностей и отношение объемов тел

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#41922Максимум баллов за задание: 1

Первая цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $h$ — высота первой кружки, $R$ — радиус ее основания. Тогда $12h$ — высота второй, $32R$ — радиус основания второй. Так как объем цилиндра равен $V = πR2h,$ то получаем

V2 π(3R)2⋅ 1h 9 V1 = --2πR2h-2--= 8 = 1,125

Ответ: 1,125

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#58462Максимум баллов за задание: 1

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если радиус его основания уменьшится в 6 раз, а высота останется прежней?

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть радиус основания конуса равен $r,$ а высота конуса равна $h.$ Объём конуса вычисляется по формуле

1 2 V = 3πr h

После того, как радиус основания конуса уменьшили в 6 раз, он стал равен $1 6r.$ Так как высота осталась прежней, то новый объём конуса равен

( ) V = 1π⋅ 1r 2⋅h= 1 π⋅-1r2⋅h нов. 3 6 3 36

Найдём, во сколько раз уменьшился объём конуса:

--V- = --13πr2h---= 1- =36 Vнов. 13 ⋅ 136r2⋅h 316

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#75168Максимум баллов за задание: 1

Снеговик представляет собой башню из трёх снежных комьев формы идеального шара. Площадь поверхности верхнего кома в 4 раза меньше площади поверхности среднего кома, а площадь поверхности среднего кома в 9 раз меньше площади поверхности нижнего кома. Объём верхнего кома равен 1. Найдите объём снеговика как сумму объёмов всех трёх комьев.

Показать ответ и решение

$PIC$

Вспомним два ключевых свойства подобных фигур:

1. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия.

2. Отношение объёмов подобных фигур равно кубу коэффициента их подобия.

Сам коэффициент подобия в данном случае равен отношению радиусов шаров.

Из тезисов выше понимаем, что радиус верхнего шара в 2 раза меньше радиус среднего, а радиус среднего шара в 3 раза меньше радиуса нижнего шара.

Более того, если объём верхнего шара равен 1, то объём среднего шара равен $1 ⋅23 = 8.$ Тогда объём нижнего шара равен $8⋅33 = 216.$

Отсюда получаем ответ: $1+ 8 + 216 = 225.$

Ответ: 225

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#75972Максимум баллов за задание: 1

Во сколько раз увеличится объём шара, если его радиус увеличить в 6 раз.

Показать ответ и решение

Объем шара $V = 4πR3, 3$ то есть объем пропорционален кубу радиуса. При увеличении радиуса в 6 раз объём увеличится в $63 = 216$ раз.

Ответ: 216

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#75980Максимум баллов за задание: 1

В цилиндрическом сосуде уровень воды достигает 54 см. На каком уровне будет находиться вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого. Ответ дайте в метрах.

Показать ответ и решение

Объём цилиндра равен

Vц = Sосн ⋅h = πR2h,

т.е. объём цилиндра прямо пропорционален квадрату радиуса основания и прямо пропорционален высоте цилиндра. При увеличении диаметра в 3 раза множитель $R2$ увеличится в 9 раз, а так как объём воды постоянный, то множитель $h$ нужно уменьшить в 9 раз $h = 54 : 9 = 6$ см. Не забываем, что ответ надо дать в метрах, то есть перевести 6 см в метры, что дает $6 : 100 = 0,06$ м.

Ответ: 0,06

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#75981Максимум баллов за задание: 1

Объём первой цилиндрической бочки равен 16. У второй цилиндрической бочки высота в три раза больше, а радиус основания бочки в 4 раза меньше. Найдите объём второй бочки.

Показать ответ и решение

Объем цилиндра

Vц = πR2h,

т.е. объём цилиндра прямо пропорционален квадрату радиуса основания и прямо пропорционален высоте цилиндра. Пусть $V1$ — объём первого цилиндра. При увеличении высоты в 3 раза объём увеличится в 3 раза, при уменьшении радиуса в 4 раза объём цилиндра уменьшится в 16 раз:

V2 = V1 ⋅3 : 16 = 16⋅3-= 3. 16

Ответ: 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#83746Максимум баллов за задание: 1

В сосуд, имеющий форму конуса, налили 9,5 л жидкости до половины высоты сосуда. Сколько литров этой же жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр основания большего конуса, $Q$ — меньшего, а $S$ – их общая вершина. В одной плоскости проведем радиусы $OA$ и $QB$ , как показано на рисунке:

$PIC$

Тогда $QB ∥OA$ и $△SQB ∼ △SOA$ . Следовательно,

OA- = OS-= 2 QB QS 1

так как по условию высота жидкости в два раза меньше высоты сосуда.

Тогда для жидкости имеем:

1 2 Vж = 3 ⋅π⋅QS ⋅QB

Следовательно, весь сосуд вмещает объем этой жидкости в литрах, равный

1 1 (1 ) V = 3 ⋅π⋅OS ⋅OA2 = 3 ⋅π⋅2QS ⋅(2QB )2 = 8⋅ 3 ⋅π⋅QS ⋅QB2 = 8⋅9,5= 76

Значит, долить нужно объем жидкости в литрах, равный

76− 9,5= 66,5

Ответ: 66,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#40602Максимум баллов за задание: 1

Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в 9 раз, а радиус основания останется прежним?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Объем конуса равен произведению площади основания на высоту:

1 1 2 Vк = 3Sосн⋅h= 3 πR ⋅h.

где $R$ — радиус основания цилиндра, $h$ — высота цилиндра.

$hR$ $hR$

Пусть высота исходного конуса равна $h,$ тогда высота уменьшенного конуса $1 h. 9$

Радиус основания по условию остается неизменным.

Найдём отношение объемов:

1πR2⋅h V1 = 13----1--= 9 V2 3πR2 ⋅9h

Таким образом, объем конуса уменьшится в 9 раз.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#137522Максимум баллов за задание: 1

Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличится в 11 раз, а высота останется прежней?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Объем конуса равен произведению площади основания на высоту:

1 1 2 Vк = 3Sосн⋅h= 3 πR ⋅h.

где $R$ — радиус основания цилиндра, $h$ — высота цилиндра.

$hR$ $h11R$

Пусть радиус исходного конуса равен $R,$ тогда радиус увеличенного конуса $11R.$

Высота конуса по условию остается неизменным.

Найдём отношение объемов:

1π(11R )2 ⋅h 1π⋅121⋅R2⋅h V2= 31--------= -3-1---------= 121 V1 3πR2 ⋅h 3πR2 ⋅h

Таким образом, объем конуса увеличится в 121 раз.

Ответ: 121

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#137523Максимум баллов за задание: 1

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

2 Vц = Sосн⋅h= πR ⋅h.

где $R$ — радиус основания цилиндра, $h$ — высота цилиндра.

$hR$ $1 32hR$

Пусть радиус основания первого цилиндра равен $R,$ тогда радиус основания второго цилиндра $2R.$

Пусть высота первого цилиндра равен $h,$ тогда высота второго цилиндра $1 3 h.$

Найдём отношение объемов:

V1 = --πR2⋅h---= -R2⋅h-= 3 V2 π(2R)2⋅ 1h 4R⋅ 1h 4 3 3

Таким образом, объем второго цилиндра равен:

4 4 V2 = 3V1 = 3 ⋅15= 20.

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#137524Максимум баллов за задание: 1

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 18. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.