Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.03 Задачи формата ЕГЭ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию чисел

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#23605Максимум баллов за задание: 4

Новогодняя гирлянда, висящая вдоль школьного коридора, состоит из красных и синих лампочек. Рядом с каждой красной лампочкой обязательно есть синяя. Всего в гирлянде 50 лампочек.

а) Может ли в этой гирлянде быть 20 красных лампочек?

б) Может ли в этой гирлянде быть 41 красная лампочка?

в) Какое наибольшее количество красных лампочек может быть в этой гирлянде?

Показать ответ и решение

а) В гирлянде может быть 20 красных лампочек, например, если среди первых 40 лампочек чередуются синие и красные, а остальные 10 лампочек являются синими.

б) Докажем, что в гирлянде не может быть 41 красная лампочка. Разобьём 50 лампочек на десять подряд идущих групп по 5 лампочек в каждой.

Если бы в каждой группе была как минимум одна синяя лампочка, то всего синих лампочек было бы не менее 10, но если в гирлянде 41 красная лампочка, то синих лампочек всего 9. Значит, найдется группа, в которой нет синих лампочек. Но тогда подряд идет пять красных лампочек, а значит, есть красная лампочка, которая не соседствует с синей.

в) Подсчитаем, какое наименьшее количество синих лампочек должно быть в гирлянде.

Поскольку рядом с каждой красной лампочкой обязательно есть синяя, то три красных лампочки не могут идти подряд. Следовательно, среди каждых трёх последовательно идущих лампочек хотя бы одна лампочка должна быть синей. Тогда среди первых 48 лампочек синих будет не меньше чем $48:3 =16.$

Также заметим, что лампочки с номерами 49 и 50 не могут оказаться красными одновременно, так как тогда у 50-ой лампочки не будет синей лампочки рядом.

Итак, синих лампочек в гирлянде должно быть не менее 17. Значит, в гирлянде может быть не больше 33 красных лампочек.

По рассуждениям можно построить пример такой гирлянды с 33 красными лампочками. Лампочки с номерами, которые дают остаток 2 при делении на 3, то есть с номерами $2,5,8,11,...,50,$ будут синими, а остальные лампочки — красными.

Ответ:

а) Да

б) Нет

в) 33

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2

Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в пункте а); — пример в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#23744Максимум баллов за задание: 4

Последовательность $a1,a2,...,a6$ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть $Mk$ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме $k$ -го. Известно, что $M1 = 1,M2 = 2$ .

а) Приведите пример такой последовательности, для которой $M = 1,6. 3$

б) Существует ли такая последовательность, для которой $M3 = 3?$

в) Найдите наибольшее возможное значение $M3$ .

Показать ответ и решение

Обозначим сумму всех чисел последовательности через $S$ .

а) Из условия задачи получаем:

$pict$

Возьмем, например, $S = 10$ . Тогда

a1 = 5, a2 = 0, a3 = 2

Чтобы сумма была равна 10, возьмем

a = a = a = 1 4 5 6

Несложно видеть, что такой набор удовлетворяет условию.

б) Следую условию на $M1$ и $M2$ , возьмем

a1 = S − 5, a2 = S − 10

Из условия на $M3$ получим:

S-−-a3 M3 = 5 = 3 ⇔ a3 = S − 15

Рассмотрим разность первого и третьего чисел последовательности:

a1 − a3 = (S − 5)− (S − 15) = 10

Такое невозможно, так как $a1$ и $a3$ — по условию цифры.

в) По определению $M3$ имеем:

M = S-−-a3 ⇔ a = S − 5M 3 5 3 3

Поскольку $a1$ и $a3$ — цифры, то модуль разности $|a1 − a3|$ не должен превышать 9.

Тогда получаем оценку:

|a1 − a3| = |(S − 5)− (S − 5M3 )| = |5M3 − 5| = 5|M3 − 1| ≤ 9 ⇔

⇔ |M − 1| ≤ 1,8 ⇔ M ∈ [− 0,8;2,8] 3 3

Построим пример для $M3 = 2,8$ . Третье число равно

a3 = S − 5M3 = S − 14

Возьмем, $S = 14$ . Тогда

a1 = 9, a2 = 4, a3 = 0

Чтобы сумма была равна 14, возьмем

a4 = 1, a5 = a6 = 0

Несложно видеть, что такой набор удовлетворяет условию.

Ответ:

a) $5,0,2,1,1,1$

б) Нет

в) $2,8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#27143Максимум баллов за задание: 4

У Вани есть несколько пакетов с вещами, каждый из которых весит целое число килограммов. Он хочет разложить все эти пакеты, не перекладывая их содержимое, по $n$ имеющимся у него рюкзакам. В каждый рюкзак можно положить любое число пакетов, суммарная масса которых не превосходит $m$ килограммов.

а) Сможет ли Ваня таким образом разложить семь пакетов, которые весят 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 кг, если $n= 3,$ $m = 29?$

б) Сможет ли Ваня таким образом разложить семь пакетов, которые весят 6, 12, 14, 15, 19, 22, 25 кг, если $n = 3,$ $m = 38?$

в) Какое наименьшее значение может принимать $m,$ чтобы Ваня при $n= 4$ смог разложить таким образом девять пакетов, которые весят 3, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 кг?

Показать ответ и решение

а) Суммарная масса вещей в килограммах в пакетах у Вани равна

3+ 6+ 9+ 12+ 15+ 18+ 21= 84

Заметим, что масса каждого пакета кратна 3, следовательно, масса любого числа пакетов также будет кратна 3. Значит, в любой рюкзак поместится число пакетов, суммарная масса которых кратна 3. Тогда суммарная масса в каждом рюкзаке не превосходит не 29 кг, а 27 кг. Но $27 ⋅3 = 81< 84.$ Следовательно, семь таких пакетов разместить не удастся.

б) Суммарная масса вещей в килограммах в пакетах равна

6+ 12+ 14+ 15+ 19 + 22 +25 = 113

Если рюкзаков 3 и в каждом не более 38 кг, то всего уместится не более $3 ⋅38 = 114$ кг. Тогда в два рюкзака должно поместиться ровно по 38 кг, а в третий — 37 кг.

Переберем все варианты, какими пакетами можно набрать 37 кг:

1.: $12+ 25$ кг, тогда остаются пакеты по 6, 14, 15, 19, 22 кг. Пакет в 22 кг должен попасть в один из двух оставшихся рюкзаков, где должно быть суммарно 38 кг, но среди пакетов нет пакета такой массы, который бы в сумме с 22 кг дал 38 кг. Если с пакетом массой 22 кг будет лежать хотя бы два других, то их общая масса будет не меньше $22+ 6+ 14 = 42$ кг. Следовательно, в этом случае ничего не получается.
2.: $15+ 22$ кг. Тогда остаются пакеты по 6, 12, 14, 19, 25 кг. Пакет в 25 кг должен попасть в один из двух оставшихся рюкзаков, где должно быть суммарно 38 кг, но среди пакетов нет пакета такой массы, который бы в сумме с 25 кг дал 38 кг. Если с пакетом массой 25 кг будет лежать хотя бы два других, то их общая масса будет не меньше $25+ 6+ 12 = 43$ кг. Следовательно, в этом случае ничего не получается.
3.: $6+ 12+ 19$ кг. Тогда остаются пакеты по 14, 15, 22, 25 кг. Пакет в 25 кг должен попасть в один из двух оставшихся рюкзаков, где должно быть суммарно 38 кг, но суммарная масса пакета в 25 кг и любого другого из оставшихся не меньше $25 + 14 = 39$ кг. Следовательно, в этом случае ничего не получается.

Других вариантов набрать 37 кг пакетами с данными массами нет, значит, Ваня не сможет разложить такие пакеты по трем рюкзакам.

в) Суммарная масса вещей в килограммах в пакетах равна

3+ 7+ 9+ 11+ 13+ 15+ 17+ 19 +21 = 115

Заметим, что минимальное $m$ мы получим в том случае, если масса во всех рюкзаках будет одинаковой. Так как ближайшее сверху к $1154-$ целое число равно 29, то $m ≥ 29.$ Тогда в трех рюкзаках должно быть по 29 кг, а в четвертом 28 кг.

Пакет в 21 кг должен попасть в один из рюкзаков, но среди других пакетов есть только один пакет такой массы, который бы в сумме с 21 кг дал 28 или 29 кг — это пакет массой 7 кг. Тогда пакеты массой в 7 и 21 кг обязаны лежать в одном рюкзаке, значит, остальные рюкзаки должны весить по 29 кг.

Рассмотрим пакет массой 19 кг. Среди оставшихся пакетов нет таких, которые бы в сумме с 19 кг дали бы 29 кг. Следовательно, в этом случае ничего не получается.

Пусть $m = 30.$ Тогда распределим пакеты по рюкзакам следующим образом:

9 +21 =30, 11 +19 = 30, 13+ 17 = 30, 3+ 7+ 15= 25

Ответ:

а) Нет, не сможет

б) Нет, не сможет

в) 30

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2

Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в пункте а); — обоснованное решение в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4