Тема 17. Задачи по планиметрии

17.05 Признаки подобия треугольников

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи по планиметрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#16790

Указать подобные треугольники, доказать их подобие. Условие каждого пункта на соответствующей картинке.

а)

$PIC$

б)

$PIC$

в)

$PIC$

г)

$PIC$

д)

$PIC$

е)

$PIC$

ж)

$PIC$

з)

$PIC$

и)

$PIC$

к)

$PIC$

л)

$PIC$

м)

$PIC$

н)

$PIC$

о)

$PIC$

п)

$PIC$

Показать ответ и решение

Указать подобные треугольники, доказать их подобие. Условие каждого пункта на соответствующей картинке.

а) $△ ABE ∼ △CDE$ по двум углам (углы при вершине $E$ равны как вертикальные, $∠ABE = ∠CDE$ ).

б) $△ AEC ∼ △EF K$ по двум углам ( $∠CAE = ∠KEF$ , $∠ECA = ∠FKE$ ).

в) $△ ABC ∼ △P BK$ по двум углам (угол при вершине $B$ общий, $∠BP K = ∠CAB$ ).

г) $1 AB = BC ⇒ ∠CAB = ∠BCA = 2(180∘ − 36∘) = 72∘$ . $∠CAD = 12∠CAB = 36∘$ .

$△ ABC ∼ △CAD$ по двум углам ( $∘ ∠CAD = ∠ABC = 36$ , $∘ ∠DCA = ∠BCA = 72$ ).

д) $△ ABC ∼ △DBE$ по двум углам ( $∠B$ — общий, $∠CAB = ∠EDB$ ).

е) $△ ACB ∼ △DEB$ по двум углам ( $∠B$ — общий, $∠ACB = ∠BED = 90∘$ ).

ж) $P EM D$ — трапеция $⇒ EM ∥ P D ⇒ ∠EM P = ∠DP M$ . $△ P DO ∼ △M EO$ по двум углам ( $∠P OD = ∠M OE$ как вертикальные, $∠EM O = ∠EM P = ∠DP M = ∠DP O$ ).

з) $△ ABD ∼ △ACB$ по двум углам ( $∠BDA = ∠ABC = 90∘$ , $∠A$ — общий).

$△ BCD ∼ △ACB$ по двум углам ( $∠CDB = ∠ABC = 90∘$ , $∠C$ — общий).

Итого, $△ ABD ∼ △ACB ∼ △BCD$ .

и) $△ N PO ∼ △M EO$ по двум углам ( $∠P ON = ∠M OE$ как вертикальные, $∘ ∠N PO = ∠OEM = 90$ ).

$△ M EO ∼ △M P K$ по двум углам ( $∠OEM = ∠M PK = 90∘$ , $∠M$ — общий).

$△ M P K ∼ △N EK$ по двум углам ( $∘ ∠M PK = ∠KEN = 90$ , $∠K$ — общий).

Итого, $△ N P O ∼ △M EO ∼ △M PK ∼ △N EK$ .

к) $△ ABF ∼ △CBK$ по двум углам ( $∠F AB = ∠BCK$ как противоположные углы в параллелограмме, $∠BF A = ∠CKB = 90∘$ ).

л) $∠M P E = ∠CEP ⇒ M P ∥ AC ⇒ ∠BP M = ∠BCA$ .

$△ BP M ∼ △BCA$ по двум углам ( $∠B$ — общий, $∠BP M = ∠BCA$ ).

$△ BCA ∼ △P CE$ по двум углам ( $∠CAB = ∠CEP$ , $∠C$ — общий).

Итого, $△ BP M ∼ △BCA ∼ △P CE$ .

м) $AP F C$ — параллелограмм $⇒ P F ∥ AC ⇒ ∠BCA = ∠BKP = ∠CKF$ .

$△ P BK ∼ △ABC$ по двум углам ( $∠B$ — общий, $∠BKP = ∠BCA$ ).

$△ ABC ∼ △F CK$ по двум углам ( $∠BCA = ∠CKF$ , $∠CAB = ∠KF C$ как противоположные углы в параллелограмме).

Итого, $△ P BK ∼ △ABC ∼ △F CK$ .

н) $△ P BK ∼ △CBA$ по двум углам ( $∠B$ — общий, $∠P KB = ∠CAB$ ).

$△ CBA ∼ △CEN$ по двум углам ( $∠C$ — общий, $∠CAB = ∠CN E$ ).

$△ CEN ∼ △P EM$ по двум углам ( $∠N EC = ∠M EP$ как вертикальные, $∠CN E = ∠P M E$ ).

Итого, $△ PBK ∼ △CBA ∼ △CEN ∼ △P EM$ .

о) $△ ABC ∼ △BDC$ по двум углам ( $∠C$ — общий, $∠ABC = ∠CDB$ ).

п) $ABCD$ — трапеция $⇒ BC ∥ AD ⇒ ∠DAC = ∠BCA$ . $△ ABC ∼ △DCA$ по двум углам ( $∠BCA = ∠DAC$ , $∠ABC = ∠ACD$ ).

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#16791

Указать подобные треугольники, доказать их подобие. Условие каждого пункта на соответствующей картинке.

а)

$PIC$

б)

$PIC$

в)

$PIC$

г)

$PIC$

д)

$PIC$

е)

$PIC$

ж)

$PIC$

з)

$PIC$

и)

$PIC$

Показать ответ и решение

Указать подобные треугольники, доказать их подобие. Условие каждого пункта на соответствующей картинке.

а) $△ ABC ∼ △M P K$ по углам ( $∠B = ∠P$ ) и прилегающим к ним сторонам ( $BA : P M = 2 : 1 = BC : P K$ ).

б) Обозначим $AB = BC = a, FN = N E = b$ .

$△ ABC ∼ △F N E$ по углам ( $∠B = ∠N$ ) и прилегающим к ним сторонам ( $BA : N F = a : b = BC : N E$ ).

в) $△ M PE ∼ △F DN$ по трем сторонам ( $M P : F D = P E : DN = EM : NF = 8 : 1$ ).

г) $△ ABC ∼ △ACD$ по трем сторонам ( $AB : AC = BC : CD = CA : DA = 2 : 3$ ).

д) $△ BCA ∼ △DCB$ по общему углу $C$ и прилегающим к нему сторонам ( $BC : DC = AC : BC = 4 : 3$ ).

е) $△ ABD ∼ △CBA$ по общему углу $B$ и прилегающим к нему сторонам ( $AB : CB = BD : BA = 2 : 1$ ).

ж) $△ ABD ∼ △ACB$ по двум углам ( $∠A$ — общий, $∠ABD = ∠BCA$ ).

з) $△ ABD ∼ △BDC$ по трем сторонам ( $AB : BD = BD : DC = DA : CB = 2 : 1$ ).

и) $△ ABC ∼ △P BK$ по общему углу $B$ и прилегающим к нему сторонам ( $AB : BP = CB : BK$ ).

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#16792

Доказать, что $△ ABC ∼ △A1B1C$ .

а)

$PIC$

б)

$PIC$

в)

$PIC$

Показать ответ и решение

а) $△ ACA1 ∼ △BCB1$ по двум углам ( $∠C$ — общий, $∠CA1A = ∠BB1C = 90∘$ ), следовательно

$AC BC--$ = $CA1 CB-- 1$ ⇒ $AC CA-- 1$ = $BC CB-- 1$

Тогда $△ ABC ∼ △A1B1C$ по углу ( $∠C$ — общий) и прилегающим к нему сторонам ( $AC : CA1 = BC : CB1$ ).

б) $△ ACA1 ∼ △BCB1$ по двум углам ( $∠A1CA = ∠BCB1$ как вертикальные, $∠AA1C = ∠CB1B$ ), следовательно

$AC-- BC$ = $CA1- CB1$ ⇒ $AC-- CA1$ = $-BC- CB1$

Тогда $△ ABC ∼ △A1B1C$ по углу ( $∠ACB = ∠B1CA1$ как вертикальные) и прилегающим к нему сторонам ( $AC : CA1 = BC : CB1$ ).

в) $△ ACA1 ∼ △BCB1$ по двум углам ( $∠C$ — общий, $∠CA1A = ∠BB1C$ ), следовательно

$AC-- BC$ = $CA1- CB1$ ⇒ $AC-- CA1$ = $BC-- CB1$

Тогда $△ ABC ∼ △A1B1C$ по углу ( $∠C$ — общий) и прилегающим к нему сторонам ( $AC : CA1 = BC : CB1$ ).

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел