Тема 17. Задачи по планиметрии

17.04 Признаки равенства треугольников

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи по планиметрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#17409

Диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O.$ Известно, что $AO = OD,$ $BO = OC.$ Докажите, что $AB = CD.$

$PIC$

Показать доказательство

Углы $∠BOA = ∠DOC$ как вертикальные. Тогда треугольники $BOA$ и $COD$ равны по углу при вершине $O$ и двум прилежащим сторонам. Следовательно, $AB = CD.$

$PIC$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#17410

Точки $M$ и $K$ — середины равных сторон $AB$ и $BC$ соответственно треугольника $ABC.$ Докажите, что $AK = CM.$

$PIC$

Показать доказательство

Треугольники $ABK$ и $CBM$ равны по общему углу при вершине $B$ и прилежащим сторонам $(AB = BC,$ $MB = KB ).$ Следовательно, $AK = MC.$

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#17412

На клетчатой бумаге нарисовали отрезки $AB$ и $CD$ так, как показано на рисунке. Докажите, что они равны.

$PIC$

Показать ответ и решение

Обозначим точки $E$ и $F$ , как показано на рисунке. Тогда треугольники $BEA$ и $DF C$ равны по первому признаку, т.к. $∠BEA = ∠DF C = 90∘$ , $EB = F D = 1$ , $AE = CF = 4$ . Следовательно, оставшиеся стороны $AB$ и $CD$ этих треугольников тоже равны.

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#17411

Все стороны и углы пятиугольника равны. Докажите, что равны все его диагонали.

Показать доказательство

Обозначим через $A,$ $B,$ $C,$ $D$ и $E$ вершины пятиугольника. Треугольники $DCB$ и $CBA$ равны по углу и прилежащим к нему сторонам $⇒ AC = DB.$ Равенство остальных диагоналей доказывается аналогично.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#17413

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O,$ которая является серединой каждого из них. Докажите, что $∠CAD = ∠CBD.$

Показать доказательство

Углы $∠BOC = ∠AOD$ как вертикальные. Тогда $△ BOC = △AOD$ по углу и прилежащим сторонам. Соответственные элементы в равных треугольниках равны, поэтому $∠CBO = ∠DAO.$

Углы $∠DOB = ∠COA$ как вертикальные. Тогда $△ DOB = △COA$ по углу и прилежащим сторонам. Соответственные элементы в равных треугольниках равны, поэтому $∠OAC = ∠OBD.$

$PIC$

Тогда получаем

∠DAC = ∠DAO + ∠OAC = ∠CBO + ∠OBD = ∠CBD

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#17414

Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные пунктиром на рисунке отрезки равны (по определению у квадрата все стороны равны, все углы прямые).

$PIC$

Показать доказательство

$∠EBA = ∠EBG + ∠GBA = 90∘ + ∠GBA = ∠ABC + ∠GBA = ∠GBC$ . Тогда треугольники $EBA$ и $GBC$ равны по углу и прилежащим к нему сторонам ( $AB = BC, EB = GB$ ) $⇒ GC = AE$ .

$PIC$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#17417

Точки $A$ и $B$ отразили относительно прямой. Получились точки $A ′$ и $B′$ . Докажите, что $AB = A′B′$ .

$PIC$

Показать доказательство

Проведем отрезки $CB$ и $CB ′$ . Треугольники $CBD$ и $CB ′D$ равны по прямым углам и прилегающим к ним сторонам $⇒ CB = CB ′$ и $∠DCB = ∠B ′CD$ . $∠BCA = 90∘ − ∠DCB = 90∘ − ∠B ′CD = ∠A ′CB ′$ . Тогда треугольники $BCA$ и $B ′CA ′$ равны по углу ( $∠BCA = ∠A ′CB ′$ ) и прилежащим к нему сторонам ( $CA = CA ′, CB = CB ′$ ) $′ ′ ⇒ AB = A B$ .

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#17415

Три квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что отмеченные пунктиром на рисунке отрезки равны.

$PIC$

Показать доказательство

Распишем углы $GBI$ и $EBD$ через их составные части

∘ ∘ ∘ ∠GBI = ∠GBA + ∠ABC +∠CBI = ∠GBA + 90 + 45 = ∠GBA + 135

∘ ∘ ∘ ∠EBD = ∠EBG + ∠GBA + ∠ABD = 90 + ∠GBA + 45 = ∠GBA + 135

Получили, что углы равны. Тогда треугольники $GBI$ и $EBD$ равны по углу и прилежащим к нему сторонам $⇒ GI = DE$ .

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#17418

У двух четырехугольников соответственно равны три стороны и два угла между этими сторонами. Докажите, что у них равны и четвертые стороны.

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $ABC$ и $A ′B ′C ′$ равны по углу ( $∠ABC = ∠A ′B′C′$ ) и прилежащим к нему сторонам $⇒ AC = A′C′$ и $∠BCA = ∠A′C′B ′$ . Тогда углы $ACD$ и $A ′C ′D ′$ равны (как разности двух зеленых дужек и одной красной) $⇒$ треугольники $ACD$ и $A′C′D′$ равны по углу ( $∠ACD = ∠A ′C′D′$ ) и прилежащим к нему сторонам $⇒ AD = A′D′$ .

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#17416

В пятиугольнике $ABCDE$ углы $ABC$ и $CDE$ равны, $AB =ED,$ $BC = CD.$ Докажите, что равны отрезки $AD$ и $BE.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$△ ABC = △EDC$ по углу и прилежащим к нему сторонам, следовательно, $AC = CE$ и $∠BCA = ∠ECD.$ Угол $BCE$ равен углу $ACD,$ т.к. $∠ACE$ — общая часть, а углы $BCA$ и $ECD$ равны. Тогда треугольники $BCE$ и $DCA$ равны по углу $(∠BCE = ∠ACD )$ и прилежащим к нему сторонам $(BC = CD, CE = CA ) ⇒ BE = AD.$

$PIC$

Ответ: Задача на доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#17421

На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяли точки $M$ и $K$ так, что $∠AMC =∠AKC,$ $BM = BK.$ Докажите, что $AK = CM.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Углы $∠AMC = ∠AKC,$ следовательно, $∠CMB = ∠BKA$ как смежные с ними. Тогда треугольники $CMB$ и $AKB$ равны по стороне $(BM = BK )$ и прилежащим к ней углам (угол $B$ общий, $∠CMB =∠BKA ).$ Значит, $AK = CM.$

$PIC$

Ответ: Задача на доказательство

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#17419

Диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O.$ Известно, что углы $ABD$ и $ACD$ равны, $BO = CO.$ Докажите, что диагонали четырехугольника равны.

$PIC$

Показать доказательство

$∠BOA = ∠DOC$ как вертикальные, тогда треугольники $ABO$ и $DCO$ равны по стороне $(BO = OC )$ и прилежащим к ней углам, следовательно, $OA = OD.$

OA = OD, OC = OB ⇒ AC = BD

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#17422

В треугольнике $ABC$ взяли точку $M$ так, что луч $BM$ делит углы $ABC$ и $AM C$ пополам. Докажите, что данный луч перпендикулярен $AC$ .

$PIC$

Показать доказательство

$∠AM D = ∠DM C$ , следовательно, $∠BM A = ∠CM B$ как смежные с ними. Тогда треугольники $CM B$ и $AM B$ равны по общей стороне ( $BM$ ) и прилежащим к ней углам $⇒ BA = BC$ . $△ ABD = △CBD$ по углу $B$ и прилежащим к нему сторонам $⇒ ∠BDA = ∠CDB$ , причем $∠BDA + ∠CDB = 180∘$ , значит, $∠BDA = ∠CDB = 90∘$ .

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#17420

Дан четырехугольник $ABCD$ , в котором $∠BAC = ∠BDC$ , $∠CAD = ∠ADB$ . Докажите, что $AB = CD$ .

$PIC$

Показать ответ и решение

Проведем высоту $OH$ в треугольнике $AOD$ и рассмотрим пару треугольников $ODH$ и $OAH$ . $∠ODH = ∠HAO, ∠DHO = ∠OHA = 90∘$ , следовательно, по сумме углов треугольника $∠AOH = 180∘ − ∠HAO − 90∘ = 180∘ − ∠ODH − 90∘ = ∠HOD$ . Тогда треугольники $ODH$ и $OAH$ равны по стороне $OH$ и прилежащим к ней углам, следовательно, $OA = OD$ .

$∠DOC = ∠BOA$ как вертикальные. Тогда треугольники $DOC$ и $AOB$ равны по стороне ( $OA = OD$ ) и прилежащим к ней углам $⇒ AB = CD$ .

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#17423

На одной стороне угла с вершиной $M$ взяли точки $A$ и $B$ , а на другой — $C$ и $D$ , причем отрезки $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O$ . Известно, что $BO = OD$ и $∠OBM = ∠ODM$ . Докажите, что точка $O$ принадлежит биссектрисе угла $M$ .

$PIC$

Показать ответ и решение

$△ DCO = △BAO$ по стороне ( $OD = OB$ ) и прилежащим к ней углам ( $∠COD = ∠BOA$ как вертикальные, $∠ABO = ∠ODC$ ), следовательно, $OC = OA$ и $CD = AB$ .

$△ DAM = △BCM$ по стороне ( $AD = AO + OD = CO + OB = CB$ ) и прилежащим к ней углам ( $∠ADM = ∠M BC$ , $∘ ∘ ∠M AD = 180 − ∠ADM − ∠DM B = 180 − ∠M BC − ∠DM B = ∠BCM$ ), следовательно, $M A = M C$ .

$△ DM O = △BM O$ по углу ( $∠M BO = ∠ODM$ ) и прилежащим к нему сторонам ( $OD = OB$ , $M D = M C + CD = M A + AB = M B$ ), следовательно, $∠DM O = ∠OM B$ и $M O$ — биссектриса.

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#17427

Равны ли треугольники $ABC$ и $PQR$ , изображенные на клетчатой бумаге?

$PIC$

Показать ответ и решение

$BC = QR$ как диагонали прямоугольников со сторонами 2 и 3, $AC = PR$ как диагонали прямоугольников со сторонами 1 и 3, $AB = PQ$ как диагонали прямоугольников со сторонами 1 и 2, следовательно, треугольники действительно равны по трем сторонам.

$PIC$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#17424

Дан четырехугольник $ABCD,$ в котором $AB = AD,$ $BC =CD.$ На его диагонали $AC$ взяли произвольную точку $K.$ Докажите, что $BK = DK.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $△ ABC = △ADC$ по трем сторонам: $AB = AD,$ $BC = DC$ и $AC$ — общая. Тогда $∠BCA = ∠DCA,$ следовательно, $∠BCK = ∠DCK.$ Тогда треугольники $BCK$ и $DCK$ равны по углам при вершине $C$ и прилегающим к ним сторонам. Значит, $BK = DK.$

$PIC$

Ответ: Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#17426

Противоположные стороны четырехугольника попарно равны. Докажите, что его диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Показать доказательство

$△ ABD = △CDB$ по трем сторонам $⇒ ∠ABD = ∠CDB$ .

$△ ABC = △CDA$ по трем сторонам $⇒ ∠CAB = ∠ACD$ .

Тогда треугольники $ABO$ и $CDO$ равны по стороне и прилегающим углам ( $AB = CD$ , $∠OAB = ∠OCD$ , $∠ABO = ∠CDO$ ) $⇒ OA = OC$ и $OB = OD$ .

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#17429

Стороны выпуклого четырехугольника $ABCD$ равны соответственно сторонам выпуклого четырехугольника $A1B1C1D1,$ при этом равны диагонали $BD$ и $B1D1.$ Докажите, что другие диагонали этих четырехугольников тоже равны.

Показать доказательство

$△ ABD = △A1B1D1$ по трем сторонам $⇒ ∠ABD =∠A1B1D1.$

$△ CBD = △C1B1D1$ по трем сторонам $⇒ ∠CBD = ∠C1B1D1.$

∠ABD +∠CBD = ∠A1B1D1 + ∠C1B1D1 ⇒ ∠ABC = ∠A1B1C1

Значит, $△ ABC =△A1B1C1$ по углу и прилежащим к нему сторонам, значит, $AC = A1C1.$

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#17425

В четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны. Его диагонали также равны и пересекаются в точке $O.$ Докажите, что $AO = DO.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по трем сторонам $(AB = CD, AC = BD, AD − общ ая),$ значит, $∠BDA =∠CAD.$

Получили, что в треугольнике $AOD$ углы при стороне $AD$ равны. Проведем высоту $OH$ в треугольнике $AOD$ и рассмотрим пару треугольников $ODH$ и $OAH.$ $∘ ∠ODH = ∠HAO, ∠DHO = ∠OHA = 90,$ следовательно, по сумме углов треугольника