Тема 11. Задачи на свойства графиков функций

11.10 Графики тригонометрических функций

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на свойства графиков функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#20708

На рисунке изображен график функции $f(x)= asinx +b.$ Найдите $a.$

$xyπ10$

Показать ответ и решение

Мы знаем, что $( ) sin π- =1 2$ и $( ) sin − π- = −1. 2$ С другой стороны, по картинке видно, что $(π) f 2 = 4$ и $( π) f − 2 = −1.$ Тогда имеем систему:

( ( ) |{ f π-= 4 | ( 2π) ( f − 2- = −1 ( (π) |{ asin 2- +b = 4 | ( π ) ( asin −2- + b= −1 { a+ b= 4 −a +b =− 1 { a= 2,5 b= 1,5

Ответ: 2,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#20709

На рисунке изображен график функции $f(x) =a sin(x + b)+ c.$ Найдите $c.$

$xyπ10$

Показать ответ и решение

Заметим, что максимальное значение функции $sin(x+ b)$ равно 1, а минимальное — $(−1).$

Тогда при $a> 0$ максимальное значение $f(x)$ равно $a+ c,$ минимальное равно $(−a + c).$

Если $a < 0,$ то наоборот, максимальное значение $f(x)$ равно $(−a + c),$ а минимальное равно $a+ c.$

Сложив максимальное и минимальное значения $f(x),$ мы получим

(a+ c)+ (− a+ c) = 2c

По картинке видно, что максимальное значение $f(x)$ равно 1, а минимальное равно $(−3).$

Тогда окончательно имеем:

2c= 1+ (− 3) ⇔ 2c= −2 ⇔ c= − 1

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31981

На рисунке изображён график функции $f(x) = a⋅cosx + b.$ Найдите $b.$

$xyπ10$

Показать ответ и решение

С самого начала определим знак коэффициента $a.$ Так как нам дана функция вида $f(x)= a ⋅cosx +b,$ а в окрестности точки $x= 0$ ее график выглядит как $⌢,$ мы можем сделать вывод, что $a> 0.$

Определим величину «коридора», в котором меняется функция. Наименьшее значение, которое принимает функция, равно $− 1,$ а наибольшее значение равно 0,5.

Тогда величина коридора равна $0,5 − (−1)= 1,5.$

У классического графика косинуса величина коридора равна 2. После домножения функции на коэффициент $a$ величина коридора изменяется в $|a|$ раз, то есть

3 3 1,5= 2|a| ⇒ |a|= 4 a⇒>0 a= 4

$xyπ10$

Теперь найдем $b.$ Рассмотрим вспомогательную функцию

g(x)= 0,75cosx

Она лежит в коридоре от $− 0,75$ до $0,75.$ При этом функция $f(x)$ лежит в коридоре от $− 1$ до $0,5.$ Это значит, что если мы сдвинем коридор функции $g(x)$ на $0,25$ вниз, то получим коридор функции $f (x).$

Все точки графиков также совпадут, тогда $b= −0,25.$

Ответ: -0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32008

На рисунке изображён график функции $f(x) =a ⋅cosx + b.$ Найдите $a.$

$xyπ10$

Показать ответ и решение

С самого начала определим знак коэффициента $a.$ Так как нам дана функция вида $f(x)= a ⋅cosx +b,$ а в окрестности точки $x= 0$ ее график выглядит как $⌣ ,$ мы можем сделать вывод, что $a < 0.$

Определим величину «коридора», в котором меняется функция. Наименьшее значение, которое принимает функция, равно $(−1,5),$ а наибольшее значение равно $3,5.$ Тогда величина коридора равна $3,5− (−1,5) =5.$

5 =2|a| ⇒ |a|= 2,5 ⇒a<0 a = −2,5

$xyπ10$

Найдем также $b.$ Рассмотрим вспомогательную функцию

g(x)= − 2,5cosx

Она лежит в коридоре от $− 2,5$ до $2,5.$ При этом функция $f(x)$ лежит в коридоре от $− 1,5$ до $3,5.$ Это значит, что если мы сдвинем коридор функции $g(x)$ на 1 вверх, то получим коридор функции $f(x).$ Все точки графиков также совпадут, тогда $b =1.$

Ответ: -2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#19986

На рисунке изображён график функции $f(x) =a cos(cπx)+ b.$ Найдите $b.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Заметим, что $b$ — среднее значение между наибольшим и наименьшим значением функции. Наибольшее значение функции равно 3, наименьшее — $− 4.$ Тогда

3+ (− 4) b = --2----= −0,5

Ответ: -0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#40022

На рисунке изображен график функции $f(x)= atg x+ b.$ Найдите $a.$

$PIC$

Показать ответ и решение

График функции проходит через точки $A(0;−1,5)$ и $B(π;0,5) 4$ , следовательно,

( ( {− 1,5 = a⋅tg0+ b {a = 2 ( π ⇔ ( 0,5= a ⋅tg 4 + b b = −1,5

Ответ: $a= 2.$

Ответ: 2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#40024

На рисунке изображен график функции $f(x) =a tgx + b.$ Найдите $a− b.$

$PIC$

Показать ответ и решение

График функции проходит через точки $A(0;−1,5)$ и $( ) B π-;− 2 , 4$ следовательно,

({− 1,5= a⋅tg0 +b π (− 2= a⋅tg4-+ b { a= − 0,5 b= − 1,5

Тогда $a − b =1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#40026

На рисунке изображен график функции $f(x) =a ctg(x+ b).$ Найдите $a.$

$PIC$

Показать ответ и решение

График функции проходит через точки $( √-) A − π-;-3 6 2$ и $B (π;0), 6$ следовательно,

$pict$

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#40028

На рисунке изображен график функции $f(x) =tg(x+ πb)+ c$ , $0< b< 1.$ Найдите $c.$

$PIC$

Показать ответ и решение

График функции сдвинут на $π 4$ единиц влево относительно графика функции $y = tgx + c$ , следовательно, $π bπ = 4$ , откуда $b= 0,25$ . График проходит через точку $A (0;3)$ , следовательно,

( π ) 3= tg 0+ -4 + c ⇔ 3= 1 +c ⇔ c =2

Ответ: $c= 2.$

Ответ: 2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел