Тема №15. Треугольники

04 Прямоугольный треугольник

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №15. треугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38205Максимум баллов за задание: 1

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$15?2$

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

a2+ b2 = c2,

где $a,b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.

Из этого следует:

c2 =a2 +b2 c2 = 52+ 122 c2 = 25+ 144 2 c = 169 c= 13

Таким образом, гипотенуза равна 13.

Ответ: 13

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#101776Максимум баллов за задание: 1

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 9 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 9

Показать ответ и решение

Способ 1

$?941$

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

2 2 2 a + b = c ,

где $a,b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.

Из этого следует:

a2 = c2− b2 = 412− 92 = =1681√−-81= 1600 a= 1600= 40.

Таким образом, второй катет равен 40.

Способ 2

$?941$

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

2 2 2 a + b = c ,

где $a,b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.

Из этого следует:

a2 = c2− b2 = 412− 92 = = (√41−-9)(41+√-9)=-32⋅50 a= 32⋅50= 16 ⋅2 ⋅2⋅25= =√4-⋅4⋅2-⋅2-⋅5⋅5= 4⋅2⋅5 =40.

Таким образом, второй катет равен 40.

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#42108Максимум баллов за задание: 1

На гипотенузу $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ опущена высота $CH,$ $AH = 7,BH = 28.$ Найдите $CH.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла:

2 CH = AH ⋅HB

Найдем $CH :$

CH = √AH--⋅HB--=√7-⋅28= √196-= 14

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#30839Максимум баллов за задание: 1

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ гипотенуза $AB = 4.$ Чему равен катет $BC,$ если угол $∠A = 30∘?$

Показать ответ и решение

По свойству прямоугольного треугольника катет, лежащий напротив угла $∘ 30 ,$ в два раза меньше гипотенузы, то есть

1 4 BC = 2AB = 2 = 2

$PIC$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#30841Максимум баллов за задание: 1

Один из углов прямоугольного треугольника равен $∘ 30 ,$ а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 15. Найдите длину гипотенузы.

Показать ответ и решение

Второй острый угол прямоугольного треугольника равен $∘ ∘ ∘ 90 − 30 = 60.$ Меньший катет лежит против меньшего угла, то есть против угла $30∘,$ значит, он в два раза меньше гипотенузы.

Пусть длина меньшего катета равна $a,$ тогда длина гипотенузы равна $2a.$ По условию $a+ 2a= 15,$ значит, $2a =10,$ то есть длина гипотенузы равна 10.

$PIC$

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#30842Максимум баллов за задание: 1

Найдите угол между медианой и биссектрисой, проведенными из прямого угла прямоугольного треугольника, если один из острых углов треугольника равен $20∘.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Пусть $∠C$ — прямой угол треугольника $ABC$ и $∘ ∠A = 20 .$

Пусть $CD$ и $CM$ — соответственно биссектриса и медиана, проведенные из прямого угла. По свойству прямоугольного треугольника $CM = AM = BM.$ Рассмотрим треугольник $CAM.$ Он равнобедренный, значит, $∠MCA = ∠MAC = ∠A = 20∘.$

$PIC$

Так как $CD$ — биссектриса прямого угла, то $∠BCD = ∠DCA = 12 ⋅90∘ = 45∘$ .

Тогда угол $DCM$ между биссектрисой и медианой равен разности углов $DCA$ и $MCA$ , то есть

∠DCM = ∠DCA − ∠MCA =45∘− 20∘ = 25∘

Ответ: 25