Тема 15. Треугольники

15.04 Прямоугольный треугольник

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела треугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#55496

Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Показать ответ и решение

По теореме Пифагора длина гипотенузы равна

∘ --2----2 √-------- √---- 16 + 30 = 256+ 900= 1156= 34

Ответ: 34

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88756

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 5,$ $BC = 12,$ угол $C$ равен $90∘.$ Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

$BAC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По теореме Пифагора

AB2 =AC2 + BC2 2 2 2 AB = 5 + 12 AB2 = 25+ 144 AB2 = 169 AB = 13

Радиус $R$ описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы, поэтому

1 R = 2AB = 6,5.

Ответ: 6,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#21354

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $∘ 90,$ $M$ — середина стороны $AB,$ $AB = 26,$ $BC =18.$ Найдите $CM.$

Показать ответ и решение

Для прямоугольного треугольника $ABC$ середина гипотенузы — центр описанной окружности. Т.е. $M$ — центр описанной окружности и $CM = AM = BM = 12AB = 13.$

$PIC$

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#42108

На гипотенузу $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ опущена высота $CH,$ $AH = 7,BH = 28.$ Найдите $CH.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла:

2 CH = AH ⋅HB

Найдем $CH :$

CH = √AH--⋅HB--=√7-⋅28= √196-= 14

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#30839

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ гипотенуза $AB = 4.$ Чему равен катет $BC,$ если угол $∠A = 30∘?$

Показать ответ и решение

По свойству прямоугольного треугольника катет, лежащий напротив угла $∘ 30 ,$ в два раза меньше гипотенузы, то есть

1 4 BC = 2AB = 2 = 2

$PIC$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#30841

Один из углов прямоугольного треугольника равен $∘ 30 ,$ а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 15. Найдите длину гипотенузы.

Показать ответ и решение

Второй острый угол прямоугольного треугольника равен $∘ ∘ ∘ 90 − 30 = 60.$ Меньший катет лежит против меньшего угла, то есть против угла $30∘,$ значит, он в два раза меньше гипотенузы.

Пусть длина меньшего катета равна $a,$ тогда длина гипотенузы равна $2a.$ По условию $a+ 2a= 15,$ значит, $2a =10,$ то есть длина гипотенузы равна 10.

$PIC$

Ответ: 10

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#30842

Найдите угол между медианой и биссектрисой, проведенными из прямого угла прямоугольного треугольника, если один из острых углов треугольника равен $20∘.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Пусть $∠C$ — прямой угол треугольника $ABC$ и $∘ ∠A = 20 .$

Пусть $CD$ и $CM$ — соответственно биссектриса и медиана, проведенные из прямого угла. По свойству прямоугольного треугольника $CM = AM = BM.$ Рассмотрим треугольник $CAM.$ Он равнобедренный, значит, $∠MCA = ∠MAC = ∠A = 20∘.$