Тема №16. Окружности

03 Описанные окружности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №16. окружности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#57323Максимум баллов за задание: 1

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC,$ лежит на стороне $AB.$ Найдите угол $ABC,$ если угол $BAC$ равен $37∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Угол $ACB$ — вписанный и опирается на диаметр $AB,$ значит, $∠ACB = 90∘.$ В треугольнике $ABC$ по теореме о сумме углов треугольника

∠ABC = 180∘ − ∠ACB − ∠BAC = = 180∘− 90∘ − 37∘ = 53∘.

Ответ: 53

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#116400Максимум баллов за задание: 1

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$ , лежит на стороне $AB$ . Радиус окружности равен 8,5. Найдите $BC$ , если $AC = 8$ .

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Центр окружности лежит на стороне $AB,$ следовательно, $AB$ — диаметр.

$ABC88?8,,55$

Диаметр окружности равен двум радиусам, следовательно,

AB = 2⋅8,5= 17.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90∘.$ Угол $ACB$ вписанный и опирается на диаметр $AB,$ следовательно, $∠ACB = 90∘ ⇒ ΔACB$ — прямоугольный.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABC$ квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

AB2 = AC2 + BC2.

Выразим $BC$ и подставим известные значения:

∘ ---------- BC = AB2 − AC2 = ∘ --2---2 √--- = 17 − 8 = 225 =15.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#108435Максимум баллов за задание: 1

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD$ . Радиус окружности с центром в точке $O$ , проходящей через вершину $A$ , равен $√-- 10$ . Найдите площадь квадрата $ABCD$ .

$ABDCO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведем радиус окружности $AO.$

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a.$

$ABCDOaaa- 22$

По условию $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD.$ Из этого следует, что отрезок $DO$ равен половине стороны квадрат:

1 a DO = 2CD = 2 .

Рассмотрим треугольник $ADO.$ В нём угол $ADO$ — прямой как угол квадрата. Значит, треугольник $ADO$ прямоугольный.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В треугольнике $OAD$ по теореме Пифагора:

OA2 = DO2 + AD2.

Подставим известные значения и выразим $a2 :$

(√--)2 ( a)2 2 10 = 2 + a 2 10= a- + a2 4 10 = 5a2 4 a2 = 10 : 5 =10 ⋅ 4 4 5 a2 = 8.

Площадь квадрата равна квадрату стороны. Значит, площадь квадрата $ABCD$ равна:

SABCD =a2 =8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#61037Максимум баллов за задание: 1

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC,$ вписанной в окружность, равен $83∘.$ Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству трапеции $∠A +∠B =180∘,$ значит,

∘ ∘ ∘ ∠B = 180 − 83 =97 .

Ответ: 97

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#26582Максимум баллов за задание: 1

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC,$ вписанной в окружность, равен $∘ 76 .$ Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что $∠BAD$ опирается на меньшую дугу $BD,$ а $∠BCD$ — на большую дугу $BD.$ Тогда сумма этих углов равна $180∘.$

∘ ∠BAD + ∠BCD = 180 ∘ ∘ ∘ ∘ ∠BCD = 180 − ∠BAD = 180 − 76 = 104

То есть $∘ ∠C = 104 .$

Ответ: 104

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#42497Максимум баллов за задание: 1

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$ , вписанного в окружность, равен $37∘$ . Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180∘.$

$∘ ABCD3?7$

У вписанного в окружность четырехугольника $ABCD$ углы $A$ и $C$ — противоположные, значит, их сумма равна $∘ 180 :$

∠A +∠C = 180∘

Выразим угол $C$ и подставим известные значения:

∠C = 180∘− ∠A = 180∘ − 37∘ = 143∘.

Ответ: 143

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45676Максимум баллов за задание: 1

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD$ , вписанного в окружность, равен $33∘$ . Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180∘.$

$ABCD3?3∘$

У вписанного в окружность четырехугольника $ABCD$ углы $A$ и $C$ — противоположные, значит, их сумма равна $180∘ :$

∠A +∠C = 180∘

Выразим угол $C$ и подставим известные значения:

∘ ∘ ∘ ∘ ∠C = 180 − ∠A = 180 − 33 = 147 .

Ответ: 147

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#116403Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 18 3$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

Значит, радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $18√3,$ равен:

√- √ - R = 18-3⋅--3= 18. 3

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$√ - ABC1680∘ 3$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $R :$

-a√- = 2R -3- 2 √3 2--⋅2R = a √- 3R =√ a a--3 R = 3 .

По условию стороны треугольника равны $18√3.$ Получаем

√- √ - 18-3⋅--3 R = 3 = 18.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#116404Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $√ - 8 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, находится по формуле

a√3 R = -3--,

где $R$ — радиус окружности, $a$ — сторона треугольника.

По условию радиус описанной окружности равен $√ - 8 3.$ В данную формулу подставим значение радиуса и выразим сторону треугольника:

√ - 8√3 = a--3 - 3 - 8√3⋅3 =a√ 3 8⋅3 =a a= 24

Таким образом, сторона треугольника равна 24.

Способ 2

Обозначим треугольник как $ABC.$

$ABC?60∘$

Углы равностороннего треугольника равны $60∘.$ Значит, все углы треугольника $ABC$ равны $60∘.$

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника. По теореме синусов

--a---= 2R. sin 60∘

Синус $60∘$ — табличная величина:

√- sin 60∘ = -3- 2

Из полученной формулы выразим $a :$

a -√3 = 2R 2-- √- a = -3-⋅2R 2 a = √3R.

По условию радиус окружности равен $√- 8 3.$ Получаем

a= √3-⋅8√3= 24.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#116405Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $150∘$ , $AB =4$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$

$∘ ABC4150$

По теореме синусов:

-a--= 2R, sinα

где $a$ — сторона треугольника, $α$ — противолежащий ей угол, $R$ — радиус описанной окружности.

Тогда для треугольника $ABC$ по теореме синусов:

--AB---- sin∠ACB = 2R.

Подставим известные значения:

--4---= 2R. sin150∘

По формуле для синусов углов:

∘ sin(180 − α )= sinα.

То есть синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого угла. Из данной формулы следует равенство:

∘ ∘ ∘ ∘ sin 150 = sin(180 − 30 )= sin30 .

Сделаем данную замену в исходном равенстве, подставим табличное значение $∘ 1 sin 30 = 2$ и найдем значение радиуса:

--4---= 2R sin30∘ 4-= 2R 1 2 1 ⋅2R = 4 2 R = 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#123744Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $120∘$ , $√ - AB = 18 3$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$

$√∘- ABC118203$

По теореме синусов:

-a--= 2R, sinα

где $a$ — сторона треугольника, $α$ — противолежащий ей угол, $R$ — радиус описанной окружности.

Тогда для треугольника $ABC$ по теореме синусов:

--AB---- sin∠ACB = 2R.

Подставим известные значения:

√ - -18--3- sin120∘ = 2R.

По формуле для синусов углов:

sin(180∘ − α )= sinα.

То есть синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого угла. Из данной формулы следует равенство:

sin 120∘ = sin(180∘− 60∘)= sin60∘.

Сделаем данную замену в исходном равенстве, подставим табличное значение $√3 sin 60∘ = -2-$ и найдем значение радиуса:

√- -18-3-= 2R sin60∘ 18√3 -√3--= 2R 2-- √- - -3-⋅2R =18√ 3 2 R = 18.

Ответ: 18

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#116406Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $45∘,$ $√ - AB =6 2.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$

$ABC64√52∘$

По теореме синусов:

-a--= 2R, sinα

где $a$ — сторона треугольника, $α$ — противолежащий ей угол, $R$ — радиус описанной окружности.

Тогда для треугольника $ABC$ по теореме синусов:

--AB----= 2R. sin∠ACB

Подставим известные значения:

√- -6-2-- sin 45∘ = 2R.

Подставим табличное значение $√2- sin45∘ =-2-$ и найдем значение радиуса:

6√2- √2 = 2R 2-- √ - √- --2⋅2R = 6 2 2 R = 6.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#123748Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $60∘$ , $√ - AB =12 3$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$

$√- ABC1620∘3$

По теореме синусов:

-a-- sinα = 2R,

где $a$ — сторона треугольника, $α$ — противолежащий ей угол, $R$ — радиус описанной окружности.

Тогда для треугольника $ABC$ по теореме синусов:

--AB----= 2R. sin∠ACB

Подставим известные значения:

√ - -12--3- sin 60∘ = 2R.

Подставим табличное значение $√3- sin60∘ =-2-$ и найдем значение радиуса:

12√3- √3 = 2R 2-- √- √ - -3-⋅2R =12 3 2 R = 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#116456Максимум баллов за задание: 1

Сторона квадрата равна $√ - 14 2$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем:

d2 =a2 +a2 2 2 d = 2√a- d= a 2

Значит, диагональ квадрата со стороной $√ - 14 2$ равна:

√ - √- d = 14 2⋅ 2 = 28.

$√√- 11RR44 22$

Поскольку все углы квадрата являются прямыми и вписанными, каждый из них опирается на диаметр описанной окружности квадрата. Следовательно, диагональ квадрата совпадает с диаметром этой окружности.

Значит, диаметр окружности равен 28. Радиус окружности равен половине диаметра:

R = d = 28= 14. 2 2

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#123978Максимум баллов за задание: 1

Сторона квадрата равна $√ - 32 2$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем:

d2 =a2 +a2 2 2 d = 2√a- d= a 2

Значит, диагональ квадрата со стороной $√ - 32 2$ равна:

√ - √- d = 32 2⋅ 2 = 64.

$√√- 33RR22 22$

Значит, диаметр окружности равен 64. Радиус окружности равен половине диаметра:

R = d = 64= 32. 2 2

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#82571Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $√- 15 2.$ Найдите длину стороны этого квадрата.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $ABCD$ — квадрат. $∠ADC$ — вписанный и равен $90∘.$ Тогда $AC$ — диаметр. По условию радиус окружности равен $√ - 15 2,$ тогда

AC = 2 ⋅15√2-= 30√2

Рассмотрим треугольник $ACD.$ Пусть $AD = x.$ Так как все стороны квадрата равны, то $CD = AD = x.$ По теореме Пифагора

AC2 = AD2 + CD2 = x2+ x2 = 2x2 ⇒ ∘------- ∘-AC2 (30√2-)2 ∘ 302⋅2- ⇒ x = -2--= ---2---= --2--= 30

Значит, сторона квадрата равна 30.

Ответ: 30

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#48496Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 16. Найдите высоту этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как треугольник $ABC$ — равносторонний, то все углы по $60∘.$ Пусть $R$ — радиус описанной окружности. По теореме синусов

AB ∘ √3 √- sin∠BCA--= 2R ⇒ AB = 2R ⋅sin 60 =2 ⋅16⋅-2-= 16 3

Проведём высоту $BH$ треугольника $ABC.$ В треугольнике $BCH$ $BH sin∠BCH = BC-.$ Тогда

∘ √- √3 BH = BC sin60 = 16 3 ⋅-2-= 8⋅3= 24

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#48491Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $√- 42 2.$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $ABCD$ — квадрат. $∠ADC$ — вписанный и равен $90∘.$ Тогда $AC$ — диаметр. По условию радиус окружности, описанной около квадрата, равен $√ - 42 2.$ Значит,

AC = 2 ⋅42√2-= 84√2

Рассмотрим треугольник $ACD.$ Пусть $AD = x.$ Так как все стороны квадрата равны, то $CD = AD = x.$ По теореме Пифагора

AC2 = CD2 + AD2 = x2+ x2 = 2x2 ⇒ ∘ ---- ∘ (--√-)- AC2- -84-2-2 ⇒ x= 2 = 2 =84

Докажем, что радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны.

Пусть точка $O$ — центр вписанной в квадрат окружности, точка $K$ — точка касания окружности со стороной $BC,$ точка $L$ — точка касания окружности со стороной $AD.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ BC, OL ⊥ AD.$ $BC ∥AD,$ значит, $OK ⊥ AD.$ Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, тогда точки $K, O, L$ лежат на одной прямой.

$CD ⊥ AD, KL ⊥ AD,$ значит, $KL ∥ CD.$ Тогда $KCDL$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $KL = CD.$ $OK = OL$ как радиусы, значит,

OK =OL = CD-= 84 = 42 2 2

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#42451Максимум баллов за задание: 1

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 7 2.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $√- r = 7 2.$ Требуется найти $R.$

Знаем, что $r$ равен половине стороны квадрата, следовательно, сторона квадрата равна $√ - 14 2.$

Радиус $R$ описанной около квадрата окружности равен половине диагонали квадрата и, так как диагональ квадрата равна стороне квадрата, умноженной на $√ - 2,$ имеем

( ) R = 1 14√2-⋅√2- = 14. 2

Ответ: 14