04 Вписанные окружности

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис.

Так как треугольник равносторонний, то каждая биссектриса являeтся медианой и высотой. Значит, точка пересечения биссектрис в равностороннем треугольнике — точка пересечения медиан и высот.

Обозначим точку пересечения биссектрис, медиан и высот за — высота, биссектриса и медиана.

По свойству медиан треугольника медианы точкой пересечения делятся в отношении считая от вершины. Значит,

— радиус, поэтому

Найдем

Пусть — квадрат. — вписанный и равен Тогда — диаметр. По условию радиус окружности, описанной около квадрата, равен Значит,

Рассмотрим треугольник Пусть Так как все стороны квадрата равны, то По теореме Пифагора

Докажем, что радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны.

Пусть точка — центр вписанной в квадрат окружности, точка — точка касания окружности со стороной точка — точка касания окружности со стороной Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то значит, Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, тогда точки лежат на одной прямой.

значит, Тогда — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому как радиусы, значит,

Пусть Требуется найти

Знаем, что равен половине стороны квадрата, следовательно, сторона квадрата равна

Радиус описанной около квадрата окружности равен половине диагонали квадрата и, так как диагональ квадрата равна стороне квадрата, умноженной на имеем