Тема №17. Четырёхугольники

02 Свойства параллелограмма

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №17. четырёхугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#122873Максимум баллов за задание: 1

Один из углов параллелограмма равен $74∘.$ Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$∘ ABCD7?4$

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, $∠A = 74∘.$ Так как $ABCD$ — параллелограмм, то противоположные углы равны.

Сумма односторонних углов параллелограмма равна $180∘.$

∠A +∠B = 180∘

Найдем величину большего угла:

∠B = 180∘− ∠A ∠B = 180∘− 74∘ ∘ ∠B = 106

Ответ: 106

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#122874Максимум баллов за задание: 1

Один из углов параллелограмма равен $91∘.$ Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$∘ ABCD?91$

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, $∠B = 91∘.$ Так как $ABCD$ — параллелограмм, то противоположные углы равны.

Сумма односторонних углов параллелограмма равна $180∘.$

∠A +∠B = 180∘

Найдем величину меньшего угла:

∠A =180∘− ∠B ∠A = 180∘− 91∘ ∘ ∠A = 89

Ответ: 89

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#122879Максимум баллов за задание: 1

Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $40∘$ и $35∘.$ Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$ABCD3450∘∘$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$∘∘ ABCD34?50$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то противоположные углы равны.

Угол $BAD$ параллелограмма равен:

∠BAD = 40∘ +35∘ =75∘.

Сумма односторонних углов параллелограмма равна $∘ 180 .$

∠BAD +∠ABC = 180∘

Найдем величину большего угла:

∘ ∠ABC =180 − ∠BAD ∠ABC = 180∘− 75∘ ∠ABC = 105∘

Ответ: 105

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#77260Максимум баллов за задание: 1

Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $65∘$ и $50∘.$ Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$ABCD5605∘∘$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$∘∘ ABCD56?05$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то противоположные углы равны.

Угол $ABC$ параллелограмма равен:

∠ABC = 65∘+ 50∘ = 115∘.

Сумма односторонних углов параллелограмма равна $180∘.$

∠BAD +∠ABC = 180∘

Найдем величину меньшего угла:

∘ ∠BAD = 180 − ∠ABC ∠BAD = 180∘− 115∘ ∠BAD = 65∘

Ответ: 65

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#122875Максимум баллов за задание: 1

Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $65∘$ и $80∘.$ Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$ABCD8605∘∘$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$∘∘ ABCD86?05$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то противоположные углы равны.

Угол $ABC$ параллелограмма равен:

∠ABC = 65∘+ 80∘ = 145∘.

Сумма односторонних углов параллелограмма равна $180∘.$

∠BAD +∠ABC = 180∘

Найдем величину меньшего угла:

∘ ∠BAD = 180 − ∠ABC ∠BAD = 180∘− 145∘ ∠BAD = 35∘

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#104811Максимум баллов за задание: 1

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O,$ $AC = 12,$ $BD = 20,$ $AB = 7.$ Найдите $DO.$

$ABCDO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCDO$

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть:

1 BO = DO = 2 BD

Тогда имеем:

DO = 1BD = 1⋅20= 10. 2 2

Ответ: 10

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45338Максимум баллов за задание: 1

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD,$ если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $21∘.$ Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCDL21∘$

Пусть биссектриса пересекает сторону $BC$ в точке $L.$ По условию $∠ALB = 21∘.$ Так как $ABCD$ — параллелограмм, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а значит,

∘ ∠LAD = ∠BLA =21

как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AL.$

Так как $AL$ — биссектриса, то искомый угол равен:

∠BAD = 2∠LAD = 2 ⋅21∘ = 42∘.

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#99074Максимум баллов за задание: 1

Найдите тупой угол параллелограмма $ABCD,$ если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $38∘.$ Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 5

Показать ответ и решение

Пусть точка $X$ — пересечение биссектрисы угла $A$ и стороны $BC.$

$PIC$

Так как прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а углы $∠DAX$ и $∠BCX$ — накрест лежащие при этих прямых,

38∘ = ∠DAX = ∠BXA = ∠BAX.

Тогда

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠ABC =180 = ∠BAX − ∠BXA = 180 − 38 − 38 = 180 − 76 = 104 .

Это и есть тупой угол параллелограмма $ABCD.$

Ответ: 104

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#122880Максимум баллов за задание: 1

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD,$ если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $33∘.$ Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$∘ ABCDL33$

Пусть биссектриса пересекает сторону $BC$ в точке $L.$ По условию $∠ALB = 33∘.$ Так как $ABCD$ — параллелограмм, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а значит,

∠LAD = ∠BLA =33∘

как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AL.$

Так как $AL$ — биссектриса, то искомый угол равен:

∠BAD = 2∠LAD = 2 ⋅33∘ = 66∘.

Ответ: 66

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#104813Максимум баллов за задание: 1

В параллелограмме $ABCD$ известен $∠B =150∘$ и на стороне $BC$ выбрана точка $N$ такая, что $AB = BN.$ Найдите $∠NAD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике $ABN$ углы при основании равны, тогда

∠BAN = ∠BNA = 1(180∘− 150∘)= 15∘ 2

Поскольку накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AN$ равны, то

∠NAD = ∠BNA = 15∘

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#104814Максимум баллов за задание: 1

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 6. Найдите его большую сторону.

$PIC$

Показать ответ и решение

По условию $∠ABE = ∠EBC.$ Противоположные стороны параллелограмма $BC ∥AD,$ следовательно, $∠EBC = ∠BEA.$ Тогда в треугольнике $AEB$ углы $B$ и $E$ равны, значит, он равнобедренный, то есть

AB = AE = 6.

$PIC$

Из полностью аналогичных соображений

DE = DC = 6.

Тогда большая сторона параллелограмма равна

AD = AE + DE = 12.

Ответ: 12

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#107205Максимум баллов за задание: 1

Один угол параллелограмма больше другого на $70∘.$ Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В параллелограмме противоположные углы равны, а прилежащие к одной стороне в сумме дают $180∘.$ Следовательно, пусть $x$ — некоторый угол параллелограмма, тогда второй равен $x + 70∘.$ Так как они не могут быть противоположными, то они прилежащие к одной стороне, значит,

x+ x+ 70∘ = 180∘ ⇒ x= 55∘

Тогда больший угол параллелограмма равен

x + 70∘ =125∘

Ответ: 125