Тема №17. Четырёхугольники

02 Свойства параллелограмма

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №17. четырёхугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#122873

Один из углов параллелограмма равен $74∘.$ Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

У параллелограмма есть два пары равных противоположных углов. Поэтому величина большего угла равна

360∘−-2⋅74∘- ∘ ∘ ∘ 2 =180 − 74 = 106 .

Ответ: 106

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#122874

Один из углов параллелограмма равен $91∘.$ Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180∘.$ Поэтому меньший угол равняется

180∘− 91∘ = 89∘.

Ответ: 89

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#122879

Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $∘ 40$ и $∘ 35 .$ Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем угол $BAD :$

∘ ∘ ∘ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 40 + 35 = 75

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то

∘ ∘ ∘ ∘ ∠ABC = 180 − ∠BAD = 180 − 75 = 105

То есть больший угол параллелограмма равен $105∘.$

Ответ: 105

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#77260

Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $65∘$ и $50∘.$ Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$ABCD6550∘∘$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Угол $B$ параллелограмма равняется $65∘+ 50∘ = 115∘.$ Заметим, что сумма тупого и острого углов параллелограмма равна $180∘.$ Поэтому меньший угол равняется

180∘− 115∘ = 65∘.

Ответ: 65

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#122875

Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $∘ 65$ и $∘ 80 .$ Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем угол $ABC :$

∘ ∘ ∘ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 65 +80 = 145

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BAD = 180 − ∠ABC = 180 − 145 = 35

То есть меньший угол параллелограмма равен $35∘.$

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#104811

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O,$ $AC = 12,$ $BD = 20,$ $AB = 7.$ Найдите $DO.$

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть

1 BO = DO = 2BD

Тогда имеем:

DO = 1BD = 1 ⋅20 = 10. 2 2

Ответ: 10

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45338

Найдите тупой угол параллелограмма $ABCD,$ если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $21∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть биссектриса угла $A$ пересекает $BC$ в точке $K.$ Так как $BC ∥AD,$ а накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, то $∠BKA = ∠KAD.$ Тогда

∠BKA = ∠KAD = ∠BAK = 21∘

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых равна $∘ 180 ,$ то

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠ABC = 180 − ∠BAD = 180 − ∠BAK − ∠KAD = 180 − 21 − 21 = 138

Ответ: 138

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#99074

Найдите тупой угол параллелограмма $ABCD,$ если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $38∘.$ Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 5

Показать ответ и решение

Пусть точка $X$ — пересечение биссектрисы угла $A$ и стороны $BC.$

$PIC$

Так как прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а углы $∠DAX$ и $∠BCX$ — накрест лежащие при этих прямых,

38∘ = ∠DAX = ∠BXA = ∠BAX.

Тогда

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠ABC =180 = ∠BAX − ∠BXA = 180 − 38 − 38 = 180 − 76 = 104 .

Это и есть тупой угол параллелограмма $ABCD.$

Ответ: 104

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#122880

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD,$ если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $∘ 33 .$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть биссектрисса пересекает сторону $BC$ в точке $L.$ По условию $∘ ∠ALB = 33 .$ Так как $ABCD$ — параллелограмм, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а значит,

∠LAD = ∠BLA = 33∘

как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AL.$

$PIC$

Так как $AL$ — биссектриса, то искомый угол равен

∠BAD = 2∠LAD = 2⋅33∘ = 66∘.

Ответ: 66

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#104813

В параллелограмме $ABCD$ известен $∠B =150∘$ и на стороне $BC$ выбрана точка $N$ такая, что $AB = BN.$ Найдите $∠NAD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике $ABN$ углы при основании равны, тогда

∠BAN = ∠BNA = 1(180∘− 150∘)= 15∘ 2

Поскольку накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AN$ равны, то

∠NAD = ∠BNA = 15∘

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#104814

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 6. Найдите его большую сторону.

$PIC$

Показать ответ и решение

По условию $∠ABE = ∠EBC.$ Противоположные стороны параллелограмма $BC ∥AD,$ следовательно, $∠EBC = ∠BEA.$ Тогда в треугольнике $AEB$ углы $B$ и $E$ равны, значит, он равнобедренный, то есть

AB = AE = 6.

$PIC$

Из полностью аналогичных соображений

DE = DC = 6.

Тогда большая сторона параллелограмма равна

AD = AE + DE = 12.

Ответ: 12

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#107205

Один угол параллелограмма больше другого на $70∘.$ Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В параллелограмме противоположные углы равны, а прилежащие к одной стороне в сумме дают $180∘.$ Следовательно, пусть $x$ — некоторый угол параллелограмма, тогда второй равен $x + 70∘.$ Так как они не могут быть противоположными, то они прилежащие к одной стороне, значит,

x+ x+ 70∘ = 180∘ ⇒ x= 55∘

Тогда больший угол параллелограмма равен

x + 70∘ =125∘

Ответ: 125