Тема №17. Четырёхугольники

02 Параллелограмм

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №17. четырёхугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104809

Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $∘ 50$ и $∘ 85 .$ Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем угол $ABC :$

∘ ∘ ∘ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 50 +85 = 135

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BAD = 180 − ∠ABC = 180 − 135 = 45

То есть меньший угол параллелограмма равен $45∘.$

Ответ: 45

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#104810

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD,$ если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $∘ 15 .$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть биссектрисса пересекает сторону $BC$ в точке $L.$ По условию $∘ ∠ALB = 15 .$ Так как $ABCD$ — параллелограмм, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а значит,

∠LAD = ∠BLA = 15∘

$PIC$

Так как $AL$ — биссектриса, то искомый угол равен

∘ ∘ ∠BAD = 2∠LAD = 2⋅15 = 30

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#104811

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O,$ $AC = 12,$ $BD =20,$ $AB = 7.$ Найдите $DO.$

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть

1 BO = OD = 2BD

Тогда имеем:

DO = 1BD = 1 ⋅20= 10 2 2

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#22452

Площадь параллелограмма равна 16, а две его стороны равны 4 и 8. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь параллелограмма можно найти как произведение стороны и опущенной на нее высоты. Всего в параллелограмме две различных по длине высоты, найдем их:

SABCD =AB ⋅DH1 ⇔ DH1 = SABCD-= 16 = 2 AB 8

SABCD- 16 SABCD = AD ⋅CH2 ⇔ CH2 = AD = 4 = 4

Тогда большая высота равна 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#23895

Площадь параллелограмма равна 32, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите высоты параллелограмма. В ответе укажите большую высоту.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания и высоты, то есть высоту можно найти как частное площади и основания. Площадь равна 32, основания — 8 и 16, следовательно, высоты равны

32 32 8- =4 и 16 = 2

Тогда большая из высот равна 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#28208

Площадь параллелограмма равна 40, а две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту параллелограмма.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $h1$ — высота на сторону длины 10, а $h2$ — высота на сторону 5. Тогда мы можем посчитать площадь параллелограмма двумя способами:

({ 10h1 = 40 = 5h2 ⇒ h1 = 4 ( h2 = 8

Значит, большая высота параллелограмма равна 8.

Ответ: 8

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45338

Найдите величину тупого угла параллелограмма $ABCD,$ если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $21∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть биссектриса угла $A$ пересекает $BC$ в точке $K.$ Так как $BC ∥AD,$ а накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, то $∠BKA = ∠KAD.$ Тогда

∠BKA = ∠KAD = ∠BAK = 21∘

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых равна $∘ 180 ,$ то

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠ABC = 180 − ∠BAD = 180 − ∠BAK − ∠KAD = 180 − 21 − 21 = 138

Ответ: 138

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#77258

Один из углов параллелограмма равен $96∘.$ Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Заметим, что сумма тупого и острого углов параллелограмма равна $180∘.$ Поэтому меньший угол равняется

180∘− 96∘ = 84∘.

Ответ: 84

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#77259

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O,AC =20,BD = 26,AB = 8.$ Найдите $DO.$

$BCDAO$

Показать ответ и решение

Заметим, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Поэтому длина $DO$ составляет половину от длины $BD,$ а значит, равняется $26 :2 = 13.$

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#77260

Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $65∘$ и $50∘.$ Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$ABCD6550∘∘$

Показать ответ и решение

Угол $B$ параллелограмма равняется $65∘+ 50∘ = 115∘.$ Заметим, что сумма тупого и острого углов параллелограмма равна $180∘.$ Поэтому меньший угол равняется

180∘− 115∘ = 65∘.

Ответ: 65

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#104813

В параллелограмме $ABCD$ известен $∠B =150∘$ и на стороне $BC$ выбрана точка $N$ такая, что $AB = BN.$ Найдите $∠NAD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике $ABN$ углы при основании равны, тогда

∠BAN = ∠BNA = 1(180∘− 150∘)= 15∘ 2

Поскольку накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AN$ равны, то

∠NAD = ∠BNA = 15∘

Ответ: 15

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#104814

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 6. Найдите его большую сторону.

$PIC$

Показать ответ и решение

По условию $∠ABE = ∠EBC.$ Противоположные стороны параллелограмма $BC ∥AD,$ следовательно, $∠EBC = ∠BEA.$ Тогда в треугольнике $AEB$ углы $B$ и $E$ равны, значит, он равнобедренный, то есть

AB = AE = 6.

$PIC$

Из полностью аналогичных соображений

DE = DC = 6.

Тогда большая сторона параллелограмма равна

AD = AE + DE = 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#107205

Один угол параллелограмма больше другого на $70∘.$ Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В параллелограмме противоположные углы равны, а прилежащие к одной стороне в сумме дают $180∘.$ Следовательно, пусть $x$ — некоторый угол параллелограмма, тогда второй равен $x + 70∘.$ Так как они не могут быть противоположными, то они прилежащие к одной стороне, значит,

x+ x+ 70∘ = 180∘ ⇒ x= 55∘

Тогда больший угол параллелограмма равен

x + 70∘ =125∘

Ответ: 125